Encontre d^2y / dx^2 por derivação implícita.

x^3 \* y^3 - 4 = 0

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

d d x x 3 y 3 - 4 = d d x 0

3 ⋅ x 3 - 1 y 3 + x 3 ⋅ 3 ⋅ y 3 - 1 d y d x   = 0

3 x 2 y 3 + 3 x 3 y 2 d y d x   = 0

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

3 x 2 y 3 + 3 x 3 y 2 d y d x   = 0

3 x 3 y 2 d y d x   = - 3 x 2 y 3

d y d x   = - 3 x 2 y 3 3 x 3 y 2

d y d x   = - y x

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para termos d 2 y d x 2 , da mesma forma que no passo 1 :

d d x d y d x = d d x - y x

d 2 y d x 2 = - 1 ⋅ d y d x ⋅ x - y ⋅ 1 x 2

d 2 y d x 2 = - x d y d x + y x 2

Acabamos ficando com d y d x na resolução, vamos então substituir d y d x = - y x :

d 2 y d x 2 = - x d y d x + y x 2

d 2 y d x 2 = - x - y x + y x 2

d 2 y d x 2 = y + y x 2

d 2 y d x 2 = 2 y x 2

Pronto, encontramos d 2 y d x 2 por derivação implícita!!

Resposta

d 2 y d x 2 = 2 y x 2

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