Encontre y'' por derivação implícita.

x^3 - y^3 = 7

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada segunda de y em relação a x por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x 3 - y 3 = 7

d d x x 3 - y 3 = d d x ( 7 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

3 x 2 - 3 y ² y ' = 0

Passo 2

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

3 y ² y ' = 3 x ² y ' = x 2 y 2

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a derivada seguda. Fica assim:

y ' = x 2 y 2

d d x ( y ' ) = d d x x 2 y 2

Pela regra do quoeficiente, temos:

y ' ' = 2 x y 2 - ( x 2 ) ( 2 y y ' ) y 4

Substituindo y ' :

y ' ' = 2 x y 2 - x 2 2 y x 2 y 2 y 4 y ' ' = 2 x y 2 - 2 x 4 y y 2 y 4

y ' ' = 2 x y 2 - 2 x 4 y 5

Isso já é uma resposta correta, maaas podemos dar uma arrumadinha:

y ' ' = 2 x y 3 - 2 x 4 y 5

y ' ' = 2 x y 3 - x 3 y 5

E a gente tem do enunciado que x 3 - y 3 = 7 , então y 3 - x 3 = - 7 . Daí:

y ' ' = - 14 x y 5

Que ficou só um pouco mais bonitinha, ne...

Mas acabamos. Partiu treinar mais??

Resposta

y ' ' = - 14 x y 5

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