7. Encontre dy/dx por derivação implícita.

x^4 + x^2y^2 - y^3 = 5

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação em relação a x :

d d x ( x 4 + x 2 y 2 - y 3 ) = d d x ( 5 )

Como a derivada da constante é zero, ficamos com:

d d x x 4 + x 2 y 2 - y 3 = 0

Deveremos também aplicar a regra da cadeia y 2 e y 3 e a regra do produto no produto x 2 y 2 nessa equação:

A regra do produto é dada por :

d d x u v = u v ' + u ' v

Já a regra da cadeia:

Se y = f g x e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

Isso nos deixa com a equação:

d d x x 4 + d ( x 2 y 2 ) d x + d ( y 3 ) d x = 0

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

4 x 4 - 1 + d d x x 2 ∙ y 2 + x 2 ∙ d y 2 d x + d y 3 d y ∙ d y d x = 0

Aplicando novamente a regra da cadeia:

4 x 3 + 2 x 2 - 1 ∙ y 2 + x 2 ∙ d y 2 d y ∙ d y d x + 3 y 3 - 1 ∙ d y d x = 0

4 x 3 + 2 x ∙ y 2 + x 2 ∙ 2 y ∙ d y d x + 3 y 2 ∙ d y d x = 0

4 x 3 + 2 x y 2 + 2 x 2 y + 3 y 2 ∙ d y d x = 0

Subtraindo 4 x 2 + 2 x y 2 de ambos os lados:

2 x 2 y + 3 y 2 ∙ d y d x = - 4 x 3 - 2 x y 2

Isolando y ' :

d y d x = - 4 x 2 - 2 x y 2 2 x 2 y + 3 y 2

Resposta

d y d x = - 4 x 2 - 2 x y 2 2 x 2 y + 3 y 2

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