Enunciado

  1. Encontre d y d x por derivação implícita.
  2. Resolva a equação para y 5 como uma função de x e obtenha d y d x dessa equação.
  3. Confirme que os dois resultados são consistentes expressando a derivada de (a) como uma função somente de x .

y - sen ⁡ x = 2

Passo 1

  1. Para usar derivação implícita nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:
  2. d d x y - sen ⁡ x = d d x 2

    d d x y 1 2 - sen ⁡ x = d d x 2

    1 2 y 1 2 - 1 ⋅ d y d x - cos ⁡ x = 0

    1 2 y - 1 2 ⋅ d y d x - cos ⁡ x = 0

    1 2 y ⋅ d y d x - cos ⁡ x = 0

    Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

    1 2 y ⋅ d y d x - cos ⁡ x = 0

    1 2 y ⋅ d y d x = cos ⁡ x

    d y d x = 2 y cos ⁡ x

    Passo 2

  3. Primeiro vamos escrever a equação isolando o y :
  4. y - sen ⁡ x = 2

    y = sen ⁡ x + 2

    y 2 = sen ⁡ x + 2 2

    y = sen ⁡ x + 2 2

    Pronto, agora é só derivar:

    d y d x = 2 ⋅ sen ⁡ x + 2 2 - 1 sen ⁡ x + 2 ' = 2 ⋅ sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 0 = 2 cos ⁡ x sen ⁡ x + 2

    Passo 3

  5. Aqui vamos pegar o resultado da derivada da letra (a) e substituir o valor de y que isolamos na letra (b):

d y d x = 2 y cos ⁡ x

y = sen ⁡ x + 2 2

Substituindo:

d y d x = 2 y cos ⁡ x = 2 sen ⁡ x + 2 2 cos ⁡ x = 2 sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x = 2 cos ⁡ x sen ⁡ x + 2

Pronto, achamos o mesmo resultado da letra (b).

Resposta

  1. d y d x = 2 y cos ⁡ x
  2. d y d x = 2 cos ⁡ x sen ⁡ x + 2
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