Determine dy/dx por derivação implícita raiz(xy) = 1

Passo 1

Para obtermos a derivação implícita, derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d x x y = d d x ( 1 )

Passo 2

A expressão à esquerda da igualdade possui uma função composta dentro da radiciação. Assim é necessário aplicar a regra da cadeia, tendo que aplicar a regra da multiplicação na função composta, obtendo nesse termo a derivada implícita. No lado direito temos a derivada de uma constante que será nula. Assim:

1 2 ( x y ) 1 / 2   -   1 d d x ( x y ) = 0

1 2 ( x y ) 1 / 2   -   1 d d x x ⋅ y + x d y d x = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas e simplificando o termo temos que:

1 2 1 ( x y ) ( y + x d y d x ) = 0

Passo 4

Simplificando o termo 1 2 1 ( x y ) temos que:

y + x d y d x = 0

Resposta

Passando o termo y para o lado esquerdo da igualdade e passando x dividindo, o resultado será:

d y d x =   - y x

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