Enunciado

Encontre y ' ' por derivação implícita.

sen y + cos x = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a segunda derivada de y , usando a derivação implícita na equação:

sen y + cos x = 1

Pra isso, nós vamos precisar derivar os dois lados da equação em relação a x , usando a regra do produto na derivação. Dessa forma, como y é uma função de x , pela regra da Cadeia, vai surgir um termo y^' . Então, isolando y^' teremos a nossa derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada em ambos os lados da equação:

(d)/(d x) (sen y + cos x) = (d)/(d x) ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , e y é uma função de x , vamos aplicar a regra da cadeia na derivação para obter:

(y^') * cos y - sen x = 0

Agora vamos isolar y ' para encontrarmos a nossa derivada implícita:

(y^') * cos y = sen x

y^' = (sen x)/(cos y)

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a seguda derivada. Fica assim:

(d)/(d x) ( y^' ) = (d)/(d x) ((sen x)/(cos y))

Pela regra do quociente, temos:

y^(' ') = (cos y cos x - sen x (- sen y) y ')/((cos y) ²)

Então, substituindo y^' = (sen x)/(cos y) (que encontramos no passo anterior), vamos ter:

y^(' ') = (cos y cos x - sen x (- sen y) (sen x)/(cos y))/((cos y) ²)

y^(' ') = - (cos^2 y cos x + sen^2 x sen y)/(cos^3 y)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y^(' ') = - (cos^2 y cos x + sen^2 x sen y)/(cos^3 y)

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