Encontre y'' por derivação implícita.

sen(y) + cos(x) = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a segunda derivada de y , usando a derivação implícita na equação:

sen ⁡ y + cos ⁡ x = 1

Pra isso, nós vamos precisar derivar os dois lados da equação em relação a x , usando a regra do produto na derivação. Dessa forma, como y é uma função de x , pela regra da Cadeia, vai surgir um termo y ' . Então, isolando y ' teremos a nossa derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada em ambos os lados da equação:

d d x sen ⁡ y + cos ⁡ x = d d x ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , e y é uma função de x , vamos aplicar a regra da cadeia na derivação para obter:

y ' ∙ cos ⁡ y - sen ⁡ x = 0

Agora vamos isolar y ' para encontrarmos a nossa derivada implícita:

y ' ∙ cos ⁡ y = sen ⁡ x

y ' = sen ⁡ x cos ⁡ y

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a seguda derivada. Fica assim:

d d x ( y ' ) = d d x sen ⁡ x cos ⁡ y

Pela regra do quociente, temos:

y ' ' = cos ⁡ y cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ y y ' cos ⁡ y ²

Então, substituindo y ' = sen ⁡ x cos ⁡ y (que encontramos no passo anterior), vamos ter:

y ' ' = cos ⁡ y cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ y sen ⁡ x cos ⁡ y cos ⁡ y ²

y ' ' = - cos 2 ⁡ y cos ⁡ x + sen 2 ⁡ x sen ⁡ y cos 3 ⁡ y

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' ' = - cos 2 ⁡ y cos ⁡ x + sen 2 ⁡ x sen ⁡ y cos 3 ⁡ y

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