Enunciado

Faça uma conjectura sobre a derivada, calculando algumas delas e observando o padrão resultante.

d 100 d x 100 cos ⁡ x

Passo 1

A ideia aqui é que a gente precisa calcular sucessivamente a derivada dessa função, e tentar identificar um padrão. Com esse padrão, a gente consegue dizer quanto vale essa derivada aí sem precisar calcular essas 100 vezes. Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Vamos começar pela derivada de cosseno:

f ' x = - s e n   x

Agora vamos derivar a função de novo algumas vezes para ver no que dá:

f ' ' ( x ) = - s e n   x ' = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ' = - - s e n   x = s e n   x

f ( 4 ) x = cos ⁡ x

Ih olha só, a gente acabou voltando para o cosseno. Se a gente continuar derivando, vamos chegar no cosseno de novo em algum momento. A gente pode tentar estimar esse momento sem precisar calcular tudo de novo.

Passo 3

Vamos fazer essa estimativa então. Se a gente organizar nossas derivadas pelo número de vezes que a função cosseno foi derivada, assim: f x = cos ⁡ x ,     n = 0

f ( n ) x = f ' x = - s e n   x ,     n = 1

f ( n ) x = f ' ' x = - cos ⁡ x ,     n = 2

f ( n ) x = f ' ' ' x = s e n   x ,     n = 3

f ( n ) x = f ( 4 ) x = cos ⁡ x ,     n = 4

Vemos que encontramos a função cosseno de quatro em quatro vezes que derivamos a própria função cosseno. Agora vamos voltar para o nosso enunciado. Precisamos achar:

d 100 d x 100 cos ⁡ x

A gente sabe que em d 100 d x 100 c o s   x nós chegamos no cosseno de novo, porque 100 é um múltiplo de 4 . Então podemos dizer que:

d 100 d x 100 cos ⁡ x = cos ⁡ x

Ufa! Conseguimos!

Resposta

d 100 d x 100 cos ⁡ x = cos ⁡ x

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