Enunciado

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(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).

Passo 1

A Fórmula (3) é essa relação aqui:

d d x s e n   x = cos ⁡ x

Precisamos usar ela para chegar em:

d d x cos sec ⁡ x = - cos sec ⁡ x c o t g   x

Ou seja, a gente quer calcular a derivada de cossecante através da derivada do seno.

Vamos começar!

Passo 2

Queremos calcular:

cos sec ⁡ x '

Podemos reescrever:

cos sec ⁡ x ' = 1 sen ⁡ x '

É uma derivada de uma divisão de funções que a gente conhece, então precisamos usar a regra do quociente:

1 sen ⁡ x ' = 1 ' sen ⁡ x - 1   sen ⁡ x ' sen 2 ⁡ x = - cos ⁡ x sen 2 ⁡ x

= - cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ 1 sen ⁡ x = - c o t g   x cos sec ⁡ x

O que é o mesmo que dizer que:

c o s s e c   x ' = - c o t g   x cos sec ⁡ x

Que é o que tínhamos que provar!

Resposta

Dedução nos passos

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos sec ⁡ x
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = c o t g   x
Use a Fórmula (1), o formato alternativo para a definição de derivada