Enunciado

Encontre a derivada dada, encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

50) d 35 d x 35 ( x . s e n   x )

Passo 1

Olá, amigo. Yuri aqui e irei estar lhe ajudando a resolver essa atividade de derivadas.

O enunciado nos pede para derivarmos algumas vezes a função dada até conseguirmos encontrar um padrão, possivelmente uma lei de recorrência e com ela encontrarmos a 35 𝑎 derivada da função.

Então é isso o que faremos, iremos derivar algumas vezes e a partir daí iremos encontrar o padrão e finalmente responderemos a atividade.

Passo 2

Por termos um produto entre duas funções deveremos utilizar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz:

𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 ′ 𝑥

Sendo:

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑔 𝑥 = sin ⁡ 𝑥

E

𝑓 ′ 𝑥 = 1

𝑔 ′ 𝑥 = cos ⁡ 𝑥

A primeira derivada é então:

𝑑 𝑑 𝑥 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = 1 sin ⁡ 𝑥 + 𝑥 cos ⁡ 𝑥

A segunda derivada segue a mesma linha, pois novamente temos que utilizar a regra do produto:

𝑑 2 𝑑 𝑥 2 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = cos ⁡ 𝑥 + cos ⁡ 𝑥 − 𝑥 sin ⁡ 𝑥 = 2 cos ⁡ 𝑥 − 𝑥 sin ⁡ 𝑥

Ainda não temos um padrão, então vamos continuar a derivação:

𝑑 3 𝑑 𝑥 3 = − 2 sin ⁡ 𝑥 − sin ⁡ 𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥 = − 3 sin ⁡ 𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥

𝑑 4 𝑑 𝑥 4 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = − 3 cos ⁡ 𝑥 − cos ⁡ 𝑥 + 𝑥 sin ⁡ 𝑥 = − 4 cos ⁡ 𝑥 + 𝑥 sin ⁡ 𝑥

𝑑 5 𝑑 𝑥 5 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = 4 sin ⁡ 𝑥 + sin ⁡ 𝑥 + 𝑥 cos ⁡ 𝑥 = 5 sin ⁡ 𝑥 + 𝑥 cos ⁡ 𝑥

𝑑 6 𝑑 𝑥 6 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = 5 cos ⁡ 𝑥 + cos ⁡ 𝑥 − 𝑥 sin ⁡ 𝑥 = 6 cos ⁡ 𝑥 − 𝑥 sin ⁡ 𝑥

𝑑 7 𝑑 𝑥 7 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = − 6 sin ⁡ 𝑥 − sin ⁡ 𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥 = − 7 sin ⁡ 𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥

Passo 3

A partir do que foi feito, conseguimos notar um certo padrão nas derivadas. Veja que:

𝑑 4 𝑘 𝑑 𝑥 4 𝑘 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = − 4 𝑘 cos ⁡ 𝑥 + 𝑥 sin ⁡ 𝑥

𝑑 4 𝑘 + 1 𝑑 𝑥 4 𝑘 + 1 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = 4 𝑘 + 1 sin ⁡ 𝑥 + 𝑥 cos ⁡ 𝑥

𝑑 4 𝑘 + 2 𝑑 𝑥 4 𝑘 + 2 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = 4 𝑘 + 2 cos ⁡ 𝑥 − 𝑥 sin ⁡ 𝑥

𝑑 4 𝑘 + 3 𝑑 𝑥 4 𝑘 + 3 �� ∙ sin ⁡ 𝑥 = − 4 𝑘 + 3 sin ⁡ 𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥

Isso significa que a depender de qual derivada você quer encontrar, temos uma fórmula de recorrência diferente. Lembre-se de que 𝑘   precisa ser um número inteiro, então devemos analisar qual fórmula usar em cada caso.

Para o nosso caso, onde queremos a derivada 35, usaremos a fórmula:

𝑑 4 𝑘 + 3 𝑑 𝑥 4 𝑘 + 3 𝑥 ∙ sin ⁡ 𝑥 = − 4 𝑘 + 3 sin ⁡ 𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥

Pois é justamente a única onde k é inteiro.

35 = 4 𝑘 + 3  

32 = 4 𝑘  

8 = 𝑘  

Agora é substituir na fórmula que encontramos e pegar o nosso resultado:

𝑑 35 𝑑 𝑥 35 𝑥 . 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥 = − 35 𝑠 𝑒 𝑛   𝑥 − 𝑥 cos ⁡ 𝑥

Resposta

d 35 d x 35 x . s e n   x = - 35 s e n   x - x cos ⁡ x

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