Enunciado

Se g x = x 4 - 2 encontre g ' 1   e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = x 4 - 2   no ponto ( 1 , - 1 ) .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos pede pra calcular g ' 1 sabendo que:

g x = x 4 - 2

Depois disso precisamos calcular a reta tangente a curva de g ( x ) no ponto ( 1,1 )!

Antes de qualquer coisa vamos relembrar como é a equação da reta tangente à uma curva em um ponto específico!

A reta tangente a curva f ( x ) em um ponto P ( x 0 , f x 0 ) é a reta passando por P com inclinação igual a:

m = f ' x 0 =   lim x →  a ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

E para o caso que queremos, a equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Vamos adaptar essa equação para nossa questão.

E é assim que a gente vai calcular a reta tangente a curva de g ( x ) no ponto ( 1,1 )! Bora lá?!

Passo 2

Vimos que a equação da reta tangente a curva em um ponto P   x 0 , f x 0 , é do tipo:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

E lembrando que a curva dada pelo enunciado tem função:

g x = x 4 - 2

E queremos a equação da reta no ponto P ( 1 , - 1 ) .

Assim:

x 0 = 1

y 0 = - 1

y = g x = x 4 - 2

x = x

E

m = g ' 1 =   lim x →   1 ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

Vamos encontrar esse valor de m .

Passo 3

Calculando g ' ( 1 ) , teremos:

g ' 1 =   lim x → 1 ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 =   l i m x → 1 x 4 - 2 - ( 1 4 - 2 ) x - 1

  l i m x → 1 x 4 - 1 x - 1

Mas se calcularmos o limite agora vamos chegar em uma indeterminação, veja:

l i m x → 1 x 4 - 1 x - 1 = 1 4 - 1 1 - 1 = 0 0

Então vamos manipular a nossa equação antes:

Passo 4

Perceba que o numerador é um produto notável do tipo “diferença de quadrados”. Então podemos fatorar esse produto da seguinte forma:

a 2 - b 2 = a + b ⋅ a - b

Assim, teremos:

l i m x → 1 x 4 - 1 x - 1 = l i m x → 1   ( x 2 - 1 ) ( x 2 + 1 ) x - 1

E podemos fatorar novamente:

=   l i m x → 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 1 ) x - 1

Ao fazer isso, poderemos simplificar o x - 1 que está no numerador como o que está no denominador. Dessa forma teremos:

l i m x → 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 )

Perfeito. Agora vamos tentar calcular esse limite novamente.

Passo 5

Calculando o limite:

l i m x → 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) = 1 + 1 1 2 + 1 = 2 2 = 4

Maravilha!!!

Achamos g ' 1 = 4 , agora vamos para a expressão da reta tangente!

Passo 6

Pra achar a reta tangente no ponto ( 1 , - 1 ) faremos:

y - y 0 = g ' 1 x - x 0

Terminamos de ver que g ' 1 = 4 . Substituindo tudo:

y - - 1 = 4 ( x - 1 )

y + 1 = 4 x - 4

e reorganizando, ficamos com:

y = 4 x - 5

Temos então a equação da reta tangente no ponto ( 1 , - 1 )

y = 4 x - 5

Prontinho!

Resposta

y = 4 x - 5

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