Enunciado

Encontre constantes A e B de forma que a função y = A   s e n   x + B . cos ⁡ x satisfaça a equação diferencial y ' ' + y ' - 2 y = s e n   x .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos diz que y = A   s e n   x + B . cos ⁡ x é solução de y ' ' + y ' - 2 y = s e n   x   e nos pede o valor de A e B .

Você tem ideia de como fazer isso?

Uma forma de resolvermos isso, é derivarmos a equação que nos foi dada, e substituirmos os valores y ' ,   y ' '   e   y na EDO e assim encontrarmos os valores das constantes.

Vamos lá!

Passo 2

Muito bem galera, temos que satisfazer a equação diferencial dada:

y ' ' + y ' - 2 y = s e n   x

Mas para isso precisaremos da derivada primeira e segunda da função:

y = A   s e n   x + B . cos ⁡ x

Como a A e B são constantes, elas podem sair da derivada:

y ' = A d d x s e n   x + B d d x cos ⁡ x

E lembre-se das derivadas trigonométricas:

d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x

d cos ⁡ x d x = - sin ⁡ x

Então, derivando, temos:

y ' = A . cos ⁡ x - B .   s e n   x

Ótimo! Só precisamos agora da derivada segunda:

y ' ' = - A s e n   x - B c o s   x

Passo 3

Colocando na y ' ' ,   y ' '   e   y equação diferencial:

- A s e n   x - B c o s   x + A . cos ⁡ x - B .   s e n   x - 2 A   s e n   x + B . cos ⁡ x = s e n   x

Reorganizando:

- A s e n   x - B c o s   x + A . cos ⁡ x - B .   s e n   x - 2 A   s e n   x - 2 B . cos ⁡ x = s e n   x

Separando:

s e n   x - A - B - 2 A + cos ⁡ x - B + A - 2 B = s e n   x

s e n   x - 3 A - B + cos ⁡ x - 3 B + A = s e n   x

No lado direito da equação, temos um seno e não temos cosseno, em outras palavras, o seno está multiplicado por 1 e o cosseno por zero. Então pra igualar com o lado esquerdo, vamos fazer que todos os termos que multiplicam o sin ⁡ x sejam 1 e os que multiplicam cos ⁡ x sejam 0:

- 3 B + A = 0 → A = 3 B

- 3 A - B = 1

Substituindo o valor de A:

- 3 3 B - B = 1

→ - 10 B = 1

B = - 1 10

E encontramos o valor de B .

Agora, substituindo em A = 3 B , temos:

A = 3 - 1 10 = - 3 10

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = - 3 10   e   B = - 1 10

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