Responde Aí

Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = x 2 + 1 x 2 - 1 3

Passo 1

Primeiro vamos usar a regra da cadeia:

y ' = 3 x 2 + 1 x 2 - 1 3 - 1 . x 2 + 1 x 2 - 1 ' = 3 x 2 + 1 x 2 - 1 2 . x 2 + 1 x 2 - 1 '

Agora temos que usar a regra da divisão para calcular:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = x 2 + 1

e

g x = x 2 - 1

Vamos agora só montar na fórmula:

x 2 + 1 x 2 - 1 3 ' = x 2 + 1 ' . x 2 - 1 - x 2 + 1 . x 2 - 1 ' x 2 - 1 2

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

x n ' = n x n - 1 e c ' = 0

Assim:

f ' ( x ) = x 2 + 1 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x 1 = 2 x

Passo 3

Com g ' ( x ) é a mesma coisa:

g ' ( x ) = x 2 - 1 ' = 2 x 2 - 1 - 0 = 2 x 1 = 2 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

x 2 + 1 x 2 - 1 3 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = x 2 + 1 ' . x 2 - 1 - x 2 + 1 . x 2 - 1 ' x 2 - 1 2 = 2 x . x 2 - 1 - x 2 + 1 . 2 x x 2 - 1 2 = 2 x . x 2 - 1 - x 2 + 1 x 2 - 1 2

Passo 5

Agora voltamos a expressão do passo 1 para terminar:

y ' = 3 x 2 + 1 x 2 - 1 2 . x 2 + 1 x 2 - 1 ' = 3 x 2 + 1 x 2 - 1 2 . 2 x . x 2 - 1 - x 2 + 1 x 2 - 1 2

Resposta

y ' = 3 x 2 + 1 x 2 - 1 2 . 2 x . x 2 - 1 - x 2 + 1 x 2 - 1 2

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