Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3

Para isso, precisamos utilizar a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Também temos que lembrar da regra da divisão de derivadas, que é dada por:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

E aí? Bora lá palicar?? 😉

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia fazendo u = (x^2 + 1)/(x^2 - 1) :

y^' = (d)/(d u) u^3 * (d)/(d x) ((x^2 + 1)/(x^2 - 1)) :.

y^' = 3 ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^(3 - 1) . (d)/(d x) ((x^2 + 1)/(x^2 - 1)) :.

y^' = 3 ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^2 . (d)/(d x) ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^'

Agora temos que usar a regra da divisão para calcular essa derivada que restou!!

Passo 3

Lembrando que:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x^2 + 1

e

g (x) = x^2 - 1

Vamos agora só montar na fórmula:

(((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3)^' = ((x^2 + 1) ' . (x^2 - 1) - (x^2 + 1) . (x^2 - 1) ')/((x^2 - 1)^2)

Passo 4

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

(x^n)^' = n x^(n - 1) e (c)^' = 0

Assim:

f^' (x) = (x^2 + 1)^' :.

f^' (x) = 2 x^(2 - 1) + 0 :.

f^' (x) = 2 x^1 :.

f^' (x) = 2 x

Passo 5

Com g ' ( x ) é a mesma coisa:

g^' (x) = (x^2 - 1)^' :.

g^' (x) = 2 x^(2 - 1) - 0 :.

g^' (x) = 2 x^1 :.

g^' (x) = 2 x

Passo 6

Agora é só substituir na expressão do Passo 3:

(((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3)^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^(' (x)))/([g (x)]^2) :.

(((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3)^' = ((x^2 + 1) ' . (x^2 - 1) - (x^2 + 1) . (x^2 - 1) ')/((x^2 - 1)^2) :.

(((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3)^' = (2 x . (x^2 - 1) - (x^2 + 1) . 2 x)/((x^2 - 1)^2) :.

(((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3)^' = (2 x . ((x^2 - 1) - (x^2 + 1)))/((x^2 - 1)^2)

Passo 7

Agora voltamos a expressão do Passo 2 para terminar:

y^' = 3 ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^2 . ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^' :.

y^' = 3 ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^2 . ((2 x . ((x^2 - 1) - (x^2 + 1)))/((x^2 - 1)^2)) :.

y^' = (- 12 x (x^2 + 1)^2)/((x^2 - 1)^4)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^' = (- 12 x (x^2 + 1)^2)/((x^2 - 1)^4)

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