Encontre a derivada da função.

y = sen(sen(sen(x)))

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Essa questão pede pra gente derivar a função

y = sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x

Repare que temos aqui uma função dentro da outra como se fosse uma casca de cebolas. Nesses casos dizemos que temos uma função composta. E para encontrar sua derivada devemos usar a regra da cadeia.

Essa regra nos diz que sendo f g x , sua derivada será dada por:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Mas repare que nossa função tem três funções em composição, na forma f g h x . Então fazermos uma adaptação na regra da cadeia aplicando ela por três vezes, e teremos algo desse tipo aqui:

f g h x ' = f ' g h x ⋅ g ' h x ⋅ h ' x

Show, vamos ver isso acontecendo nosso passo a passo abaixo. Vem comigo.

Passo 2

Nossa função é:

y = sin ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x

Então, lembrando que a derivada da função seno é a função cosseno e aplicando a regra da cadeia, vamos ter algo assim:

y ' = cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ sin ⁡ x ' ⋅ sin ⁡ x '

Assim, derivando agora a função do meio, temos:

y ' = cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ x '

E por último, derivamos a mais interna ali no final:

y ' = cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ sin ⁡ x ⋅ cos ⁡ x

Então, multiplicando tudo, temos:

y ' = cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x

E prontinho. Temos nossa resposta!

Resposta

y ' = cos ⁡ sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ x

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