Regra da Cadeia

Teoria Completa

Essa é uma regra de derivação importante para caramba (faz um pôster dela!). Ela trata de funções compostas. Para derivar uma f g x , composta de g em f , teríamos:

f g x ' = f ' g x g ' ( x )

Como, por exemplo:

h x = x 2 + 4 x + 9 7

Aqui, uma alternativa seria abrir esse polinômio. Cá entre nós, isso é algo bizarramente surreal.

Mas pera, isso é um polinômio. Então, se derivarmos como fazemos com polinômios vamos ter

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 7 - 1 = 7 x 2 + 4 x + 9 6

Só isso? NÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃO. Se liga que tem uma função dentro daquele parênteses ne?

Repara que na verdade temos: h x = f ( g ( x ) ) , Onde f x = x 7 e g x = x 2 + 4 x + 9 . Uma composta de g em f . Então temos que usar a regra da cadeia.

Primeiro derive como se tudo que estivesse em parênteses fosse x .

7 x 2 + 4 x + 9 6

E depois multiplique pela derivada da função dentro (o g x ), ou seja:

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 6 g ' x =   7 x 2 + 4 x + 9 6 2 x + 4

A questão sempre é definir quem está dentro de quem e aplicar a fórmula.

Legal? Bora para os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

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Passo 1

Começamos separando a função em duas. Repara, temos um cosseno elevado ao quadrado, então podemos entender esse cara como uma função cosseno e uma função x 2 . Ora, se modelarmos as funções por:

h x = cos ⁡ x       ;       g x = x 2

Teremos,

f x = g h x

Passo 2

A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma f x = g h x qualquer, temos sua derivada dada por:

f ' x = g ' h x h ' x

Com isso, temos que calcular as derivadas de h e g :

h ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x       ;       g ' x = x 2 ' = 2 x

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:

f ' x = g ' h x h ' x = 2 h x - sen ⁡ x

= - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Essa é a derivada!

Resposta

f ' x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.199-78b

Determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

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Passo 1

a Ora, nesse caso nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim podemos escrever:

y u x

Passo 2

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Passo 3

Derivando cada uma das funções que mostramos na Regra da Cadeia, ou seja, y ' u x e     u ' x , teríamos:

d y d u = u 3 ' = 3 u 2

d u d x = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia :

y u x ' = y ' u x     u ' x = 3 u 2 1 2 x - 1 2

= 3 x 1 2 2 1 2 x - 1 2

= 3 2 x 1 2

Passo 4

( b ) Novamente, nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim, é possível escrever:

y u x

Passo 5

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Passo 6

Derivando cada uma das funções, teríamos:

d y d u = u 1 2 ' = 1 2 u - 1 2

d u d x = x 3 ' = 3 x 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x = 1 2 u - 1 2 3 x 2

= 3 2 x 3 - 1 2 x 2

= 3 2 x 1 2

Resposta

a   3 2 x 1 2

b   3 2 x 1 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Derive a função:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

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Passo 1

Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.

Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:

f x = x 3       ;       g x = sin ⁡ ln ⁡ x 2    

De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:

y = f g x

Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.

Passo 2

Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:

y ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

Isso vai dar:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 '

No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:

f x = sin ⁡ x       ;       g x = ln ⁡ x 2    

Fazendo a regra da cadeia de novo:

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ ln ⁡ x 2 '

E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:

f x = ln ⁡ x       ;       g x = x 2    

E fazendo a regra da cadeia temos:

ln ⁡ x 2 ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

ln ⁡ x 2 ' = 1 x 2 ∙ x 2 ' = 1 x 2 ∙ 2 x = 2 x

Passo 3

Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 '

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ ln ⁡ x 2 '

ln ⁡ x 2 ' = 2 x

Chegamos à:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ 2 x

y ' = 6   ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Passo 4

A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

Pode ser entendido como:

y = f g h i x

Se fizermos:

f x = x 3 h x = ln ⁡ x g x = sin ⁡ x i x = x 2

Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:

f ' x = 3 x 2 h ' x = 1 x g ' x = cos ⁡ x i ' x = 2 x

Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:

y ' = f g h i x ' = f ' g h i x ∙ g h i x '

E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:

g h i x ' = g ' h i x ∙ h i x '

E uma terceira e última vez também tem que ser feita:

h i x ' = h ' i x ∙ i x '

De forma que a derivada vai ficar:

y ' = f ' g h i x ∙ g ' h i x ∙ h ' i x ∙ i ' x