Regra da Cadeia

Resumo Completo

Essa é uma regra de derivação importante para caramba (faz um pôster dela!). Ela trata de funções compostas. Para derivar uma f g x , composta de g em f , teríamos:

f g x ' = f ' g x g ' ( x )

Como, por exemplo:

h x = x 2 + 4 x + 9 7

Aqui, uma alternativa seria abrir esse polinômio. Cá entre nós, isso é algo bizarramente surreal.

Mas pera, isso é um polinômio. Então, se derivarmos como fazemos com polinômios vamos ter

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 7 - 1 = 7 x 2 + 4 x + 9 6

Só isso? NÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃO. Se liga que tem uma função dentro daquele parênteses ne?

Repara que na verdade temos: h x = f ( g ( x ) ) , Onde f x = x 7 e g x = x 2 + 4 x + 9 . Uma composta de g em f . Então temos que usar a regra da cadeia.

Primeiro derive como se tudo que estivesse em parênteses fosse x .

7 x 2 + 4 x + 9 6

E depois multiplique pela derivada da função dentro (o g x ), ou seja:

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 6 g ' x =   7 x 2 + 4 x + 9 6 2 x + 4

A questão sempre é definir quem está dentro de quem e aplicar a fórmula.

Legal? Bora para os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Começamos separando a função em duas. Repara, temos um cosseno elevado ao quadrado, então podemos entender esse cara como uma função cosseno e uma função x 2 . Ora, se modelarmos as funções por:

h x = cos x       ;       g x = x 2

Teremos,

f x = g h x

Passo 2

A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma f x = g h x qualquer, temos sua derivada dada por:

f ' x = g ' h x h ' x

Com isso, temos que calcular as derivadas de h e g :

h ' x = cos x ' = - sen x       ;       g ' x = x 2 ' = 2 x

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:

f ' x = g ' h x h ' x = 2 h x - sen x

= - 2 cos x sen x

Essa é a derivada!

Resposta

f ' x = - 2 cos x sen x

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.199-78b

Determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Ora, nesse caso nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim:

y u x

Passo 2

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x u ' x

Passo 3

Derivando cada uma das funções, teríamos:

d y d u = u 3 ' = 3 u 2

d u d x = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2

Logo,

y u x ' = y ' u x u ' x = 3 u 2 1 2 x - 1 2

= 3 x 1 2 2 1 2 x - 1 2

= 3 2 x 1 2

Passo 4

b ) Novamente, nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim:

y u x

Passo 5

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x u ' x

Passo 6

Derivando cada uma das funções, teríamos:

d y d u = u 1 2 ' = 1 2 u - 1 2

d u d x = x 3 ' = 3 x 2

Logo,

y u x ' = y ' u x u ' x = 1 2 u - 1 2 3 x 2

= 3 2 x 3 - 1 2 x 2

= 3 2 x 1 2

Resposta

a   3 2 x 1 2

b   3 2 x 1 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração própria

Derive a função:

f x = sen 3 ( ln ( x 2 ) )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas três funções, observadas de fora pra dentro:

g x = sen 3 x       ;       h x = ln x       ;       i x = x 2

De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:

g h i x

Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.

Passo 2

No caso, eu vou ter que repetir essa Regra duas vezes:

[ g h i x ' = g ' h i x h i x '

h i x ' = h ' i x i ' ( x )

Ou seja, fico com

g h i x ' =   g ' h i x h ' i x i ' ( x )

Agora é só pensar na derivada de cada uma separada para ver no que dá.

Passo 3

Pensando primeiro na derivada de g ( x ) , é uma trigonométrica elevada a uma potência. Eu precisaria aplicar pela terceira vez a Regra da Cadeia (3 de uma vez, já tá virando um combo), já que eu derivaria novamente e multiplicaria pela derivada de dentro. Olha como ficaria:

g ' x = 3 sen 2 x cos x

Repara que o expoente desceu, como na derivada de um polinômio, e apareceu um cosseno, que vem da derivada de dentro (derivada do seno). Agora h ( x ) , tranquilinho:

h ' x = 1 x

Derivada de ln x , nem tem muito o que falar. Para o i x fica assim:

i ' x = 2 x

Agora o trabalho é só juntar tudo, como eu tinha armado inicialmente na fórmula do passo 2. Coloco o h i x dentro do g ' ( x ) , o i ( x ) dentro do h ' ( x ) e o i ' x multiplicando. Saca:

g ' h i x h ' i x   i ' x =   3 sen 2 h i x cos h i x 1 i ( x ) 2 x

= 3 sen 2 ln ( x 2 ) cos ln ( x 2 ) 1 x 2 2 x = 6 sen 2 ln x 2 cos ln x 2 x

Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)

Resposta

f ' x = 6 sen 2 ln x 2 cos ln x 2 x

Exercício Resolvido #4

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 - 1 b

Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos aqui uma função composta. Há uma g x = 3 x por fora, e uma função h x dentro dela dada por 2 x 7 - cos 4 x . Por definição, derivamos pela Regra da Cadeia a f x e ficaríamos assim:

S e   f x = g h x ,     f ' x = g ' h x h ' x

Passo 2

Vamos determinar g ' x e h ' x

g ' x = 3 x ' = 3 x ln 3

h ' x = 2 x 7 - cos 4 x ' = 14 x 6 - ( cos 4 x ) '

Passo 3

Para determinar a derivada de cos 4 x precisamos recorrer a regra da cadeia de novo, onde

s x = 4 x   ; t x = cos x

t s x ' = t ' s x s ' x = - 4 sen 4 x

Passo 4

Agora vamos na fórmula que achamos para a Derivada de f :

f ' x = g ' h x h ' x = 3 2 x 7 - cos 4 x ln 3 14 x 6 + 4 sen 4 x

= ln 3 14 x 6 + 4 sen 4 x 3 2 x 7 - cos 4 x

Resposta

f ' x = ln 3 14 x 6 + 4 sen 4 x 3 2 x 7 - cos 4 x

Exercício Resolvido #5

Enunciado

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 241, exercício 59 -modificada

Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bem, aqui ele quer a segunda derivada daquela função f , isso porque tem aquelas duas linhas em cima da f .

Para achar essa segunda derivada temos que derivar duas vezes, lembra? Vamos derivar então.

Repara que dentro da g na equação da f , temos um x 2 isso nos diz que temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer

u x = x 2

Isso vai ajudar nas nossas contas para entender qual função está dentro da onde e como fica a regra da cadeia. A nossa f vai ficar

f x = x g u x

Passo 2

Fazendo a primeira derivada vamos ter que aplicar a regra da cadeia e a regra do produto, então vamos ter

f ' x = x ' g u x + x g u x '

Então vamos ter

f ' x = g u x + x g ' u x u ' x

Passo 3

Vamos trocar só a derivada de u x ali em cima, isso porque vai ajudar nas contas, como temos que derivar de novo para achar a segunda derivada vamos deixar o u x dentro da g e da g '

u ' x = 2 x

Assim a f ' vai ficar

f ' x = g u x + 2 x 2 g ' u x

Passo 4

Vamos, agora, para a segunda derivada. Vamos usar, de novo, a regra do produto e a regra da cadeia.

f ' ' x = g u x ' + 2 x 2 ' g ' u x + 2 x 2 g ' u x '

f ' ' x = g ' u x u ' x + 4 x g ' u x + 2 x 2 g ' ' u x u ' x

Agora, trocando a derivada de u ' x que já calculamos ali em cima vamos ter

f ' ' x = g ' u x 2 x + 4 x g ' u x + 4 x 3 g ' ' u x

Agora podemos trocar u x por x 2 , afinal a nossa resposta só pode depender de g , g ' , g ' ' e x .

f ' ' x = 2 x g ' x 2 + 4 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

Resposta

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração Própria

Seja g uma função diferenciável tal que g 0 = 1 e g ' 0 = 0 . Considere a função

h x = sen x g tg x + 1 x - 1 3

Calcule h ' - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos calcular h ' x . Começando com a regra do produto:

h ' x = cos x g tg x + 1 x - 1 3 + sen x g tg x + 1 x - 1 3 '

Passo 2

Agora temos que mandar uma regra da cadeia pra achar a derivada dessa parte da direita:

g tg x + 1 x - 1 3 ' = 3 g tg x + 1 x - 1 2 . g tg x + 1 x - 1 '

g tg x + 1 x - 1 3 ' = 3 g tg x + 1 x - 1 2 . g ' tg x + 1 x - 1 . tg x + 1 x - 1 '

Pelas regras da cadeia e do quociente, temos que

tg x + 1 x - 1 ' = sec 2 x + 1 x - 1 x - 1 - x + 1 x - 1 2

Ou seja,

g tg x + 1 x - 1 3 ' = 3 g tg x + 1 x - 1 2 . g ' tg x + 1 x - 1 sec 2 x + 1 x - 1 x - 1 - x + 1 x - 1 2

Passo 3

Juntando isso tudo:

h ' x = cos x g 3 tg x + 1 x - 1 + sen x 3 g tg x + 1 x - 1 2 . g ' tg x + 1 x - 1 sec 2 x + 1 x - 1 x - 1 - x + 1 x - 1 2

Passo 4

Beleza, agora podemos achar h ' - 1 ! Repare que substituindo x = - 1 , temos tg x + 1 x - 1 = tg 0 = 0 .

Então temos

h ' - 1 = cos - 1 g 3 0 + 3 sen - 1 g 2 0 g ' 0 s e c 2 0 - 2 4

E pelo enunciado, g 0 = 1 . Ele também deu g ' 0 = 0 , ou seja:

h ' - 1 = cos - 1 1 3 + 3 sen - 1 1 2 0 1 2 - 2 4

h ' - 1 = cos - 1

É isso!

Resposta

h ' - 1 = cos - 1

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