Regra da Cadeia

Teoria Completa

Quando estamos estudando Cálculo na faculdade, em algum momento começamos a lidar com as Derivadas, nessa página tentaremos aprender a Regra da Cadeia, que é uma técnica de resolução de Derivadas.

No nosso site você encontra, tópicos para todos os tipos de técnica de derivação que são ensinados na sua faculdade, e além disso todo tópico conta com uma sessão de exercícios resolvidos, organizados em ordem crescente de dificuldade, carinhosamente pela nossa equipe de Experts. Tudo isso para você mandar bem na sua prova!

Regra da Cadeia

A regra da cadeia é uma propriedade de derivação que vai ser muito utilizada por você nos seus exercícios e provas. O caso em que ela será utilizada, será quando existir um "aninhamento" de funções, ou seja, um tipo de função dentro de outra.

Como sempre esse tipo de matéria, para aprendermos técnicas, sempre fica mais fácil com exemplos e exercícios, mas é muito importante termos as teorias em mente, por isso, matematicamente podemos representar a regra da cadeia como:

$$\Big[f(g(x))\Big]'=f'\Big(g(x)\Big).g'(x)$$

Fica um pouco confuso conforme a definição, mas a gente tem uma lista de exemplos preparada no nosso estilo de resolução Passo a Passo para você ter um gostinho de como fazemos a regra da cadeia na prática! Depois você pode aproveitar e conferir os exercícios resolvidos que temos desse tópico no nosso site!

Exercícios

Então sem perda de tempo, vamos ver como resolvemos derivadas utilizando a regra da cadeia!

  • Derive a equação:
$$h(x)=(x^2+4x+9)^7$$

Passo 1

Nesse primeiro exercício, primeiro vamos identificar as funções que compõe a função $h(x)$:

$$g(x)=x^2+4x+9$$
$$f(x)=x^7$$

Então quando fazemos:

$$f(g(x))=(x^2+4x+9)^7=h(x)$$

Já conseguimos separar nossas funções.

Passo 2

Então agora podemos dizer que $f(x)$ é a função que está por fora, e $g(x)$ é a função que está dentro. Vamos descobrir as derivadas dessas funções porque vamos precisar delas.

A derivada de quem está fora:

$$f'(x)=7x^6$$

A derivada de quem está dentro:

$$g'(x)=x+ 4$$

Vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

A Regra da Cadeia diz para gente que a nossa derivada, é a derivada de que está fora repetindo quem está dentro, vezes a derivada de quem está dentro, então no caso do exemplo teríamos:

$$h'(x)=f'\Big(g(x)\Big).g'(x)=7(x^2+4x+9)^6.(x+4)$$

Não esquece de colocar o termo $g'(x)$ no final da sua derivada, se não fizer isso, a resposta vai estar errada!

Resposta

$$h'(x)=7(x^2+4x+9)^6.(x+4)$$
  • Calcule a derivada da seguinte função:
$$h(x)=\cos^2x$$

Passo 1

Hmmm.... Como resolver isso? Nós temos uma função trigonométrica $cos$ sendo elevada ao quadrado... Então posso pensar que a função que está por fora é $f(x)=x^2$ e o que sobra para ser a função de dentro é $g(x)=\cos x$, vamos ver se faz sentido:

Se eu compor, $f(x)$ com $g(x)$:

$$f(g(x))=(\cos x)^2=\cos^2x$$

Viu como separamos nossas funções $f(x)$ e $g(x)$? Você sempre terá que fazer essa analise inicial para entender melhor como vai aplicar a regra da cadeia. Para ficar craque nisso, além de conhecer bem os tipos de funções, como trigonométricas, exponenciais, polinomiais, e todas as outras que podem aparecer na sua prova/exercício, é muito importante fazer exercícios de derivação.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:

$$f'(x)=2x$$
$$g'(x)=-sen\text{ }x$$

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a nossa derivada, é a derivada de que está fora repetindo quem está dentro, multiplicado pela derivada de quem está dentro, então no caso do exemplo teríamos

$$h'(x)=2(\cos x).(-sen\text{ }x)$$

Resposta

$$h'(x)=-2\cos x.sen\text{ }x)$$
  • Derive a função:
$$y =sen^3\Big(ln(x^2)\Big)$$

Nesse exercício, acompanhe nossa resolução em vídeo, e tente fazer junto com o nosso Expert Ruan! Ele vai seguir mostrando todos os passos do raciocínio para você não ficar perdido, e ainda vai te ensinar um macete, para deixar tudo facinho para você! Fica de olho:

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.

Derive a seguinte função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

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Passo 1

Neste caso é como se tivéssemos uma função “dentro” da outra. A função cos ⁡ x estaria dentro da função x 2 , deste modo:

f x → cos ⁡ x → c o s 2 x

Agora, a gente consegue separar a função em duas. Então vamos chamar a função cosseno de h x e a função x 2 de g x , ficando assim,

h x = cos ⁡ x       ;       g x = x 2

Como, a função cosseno está dentro da função x 2 . Teremos,

f x = g h x

Passo 2

A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma f x = g h x qualquer, temos sua derivada dada por:

f ' x = g ' h x h ' x

O que isso que dizer? Nós vamos primeiro derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro.

Derivando a função de fora ficamos com,

g ' x = x 2 ' = 2 x

Derivando a função de dentro ficamos com,

h ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:

f ' x = g ' h x h ' x = 2 h x - sen ⁡ x

= - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Essa é a derivada!

Resposta

f ' x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.199-78b

Determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

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Passo 1

a Ora, nesse caso nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim podemos escrever:

y u x

Passo 2

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Escrevendo de outra forma, nós temos,

d y d x =   d y d y   ×   d u d x

Passo 3

Derivando cada uma das funções que mostramos na Regra da Cadeia, ou seja, y ' u x e     u ' x , teríamos:

d y d u = u 3 ' = 3 u 2

d u d x = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia :

y u x ' = y ' u x     u ' x = 3 u 2 1 2 x - 1 2

= 3 x 1 2 2 1 2 x - 1 2

= 3 2 x 1 2

Passo 4

( b ) Novamente, nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim, é possível escrever:

y u x

Passo 5

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Escrevendo de outra forma, nós temos,

d y d x =   d y d y   ×   d u d x

Passo 6

Derivando cada uma das funções, teríamos:

d y d u = u 1 2 ' = 1 2 u - 1 2

d u d x = x 3 ' = 3 x 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x = 1 2 u - 1 2 3 x 2

= 3 2 x 3 - 1 2 x 2

= 3 2 x 1 2

Resposta

a   3 2 x 1 2

b   3 2 x 1 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Derive a função:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

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Passo 1

Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.

Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:

f x = x 3       ;       g x = sin ⁡ ln ⁡ x 2    

De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:

y = f g x

Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.

Passo 2

Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:

y ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

Isso vai dar:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 '

No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:

f x = sin ⁡ x       ;       g x = ln ⁡ x 2    

Fazendo a regra da cadeia de novo:

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ ln ⁡ x 2 '

E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:

f x = ln ⁡ x       ;       g x = x 2    

E fazendo a regra da cadeia temos:

ln ⁡ x 2 ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

ln ⁡ x 2 ' = 1 x 2 ∙ x 2 ' = 1 x 2 ∙ 2 x = 2 x

Passo 3

Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 '

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ ln ⁡ x 2 '

ln ⁡ x 2 ' = 2 x

Chegamos à:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ 2 x

y ' = 6   ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Passo 4

A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

Pode ser entendido como:

y = f g h i x

Se fizermos:

f x = x 3 h x = ln ⁡ x g x = sin ⁡ x i x = x 2

Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:

f ' x = 3 x 2 h ' x = 1 x g ' x = cos ⁡ x i ' x = 2 x

Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:

y ' = f g h i x ' = f ' g h i x ∙ g h i x '

E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:

g h i x ' = g ' h i x ∙ h i x '

E uma terceira e última vez também tem que ser feita:

h i x ' = h ' i x ∙ i x '

De forma que a derivada vai ficar:

y ' = f ' g h i x ∙ g ' h i x ∙ h ' i x ∙ i ' x

Agora é só substituir já que sabemos todas as funções e suas derivadas. Pro primeiro termo dos quatro, temos f ' x com x substituído por g h i x , logo:

f ' x = 3 x 2 g h i x = sin ⁡ ln ⁡ x 2

f ' g h i x = 3 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 2 = 3 ∙ sin 2 ⁡ ln ⁡ x 2

No segundo termo, temos g ' x com x substituído por h i x , logo:

g ' x = cos ⁡ x h i x = ln ⁡ x 2

g ' h i x = cos ⁡ ln ⁡ x 2

No terceiro termo, temos h ' x com x substituído por i x , logo:

h ' x = 1 x i x = x 2

h ' i x = 1 x 2

E pra finalizar sobrou só o i ' x = 2 x já conhecido. Juntando tudo:

f ' g h i x = 3 ∙ sin 2 ⁡ ln ⁡ x 2 g ' h i x = cos ⁡ ln ⁡ x 2 h ' i x = 1 x 2 i ' x = 2 x

A derivada fica:

y ' = f ' g h i x ∙ g ' h i x ∙ h ' i x ∙ i ' x

y ' = 3 ∙ sin 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ 1 x 2 ∙ 2 x

y ' = 6 sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)

Resposta

y ' = 6 sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Exercício Resolvido #4

Derive:

y = x sinh ⁡ x

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Passo 1

Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:

a = e ln ⁡ a

Sendo a um número qualquer. Ok, mas se ao invés de a tivéssemos uma função?

f x = e ln ⁡ f x

Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:

y = e ln ⁡ y = e ln ⁡ x sinh ⁡ x

E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:

y = e ln ⁡ x sinh ⁡ x = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:

Passo 2

Se lembrarmos bem, quando derivamos e elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:

e g x ' = g ' x   ∙   e g x

Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima

y = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

A gente vê bem que é esse g x . No caso, vai ser:

g x = sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:

g ' x = sinh ⁡ x   ' ∙   ln ⁡ x +   sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x '

g ' x = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Passo 3

Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:

y ' = e g x ' = g ' x   ∙   e g x

g x = sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

g ' x = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Juntando tudo:

y ' = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x   e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:

x sinh ⁡ x = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Fechamos a questão com:

y ' =   x sinh ⁡ x   cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Resposta

y ' =   x sinh ⁡ x   cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 - 1 b

Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

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Passo 1

Temos aqui uma função composta. Há uma g x = 3 x por fora, e uma função h x dentro dela dada por 2 x 7 - cos ⁡ 4 x . Por definição, derivamos pela Regra da Cadeia a f x e ficaríamos assim:

S e   f x = g h x ,     f ' x = g ' h x h ' x

Passo 2

Vamos determinar g ' x e h ' x

g ' x = 3 x ' = 3 x ln ⁡ 3

h ' x = 2 x 7 - cos ⁡ 4 x ' = 14 x 6 - ( cos ⁡ 4 x ) '

Passo 3

Para determinar a derivada de cos ⁡ 4 x precisamos recorrer a regra da cadeia de novo, onde

s x = 4 x   ; t x = cos ⁡ x

t s x ' = t ' s x s ' x = - 4 sen ⁡ 4 x

Passo 4

Agora vamos na fórmula que achamos para a Derivada de f :

f ' x = g ' h x h ' x = 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x ln ⁡ 3 14 x 6 + 4 sen ⁡ 4 x

= ln ⁡ 3 14 x 6 + 4 sen ⁡ 4 x 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

Resposta

f ' x = ln ⁡ 3 14 x 6 + 4 sen ⁡ 4 x 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

Exercício Resolvido #6

James Stewart, Cálculo Vol.1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 224, exercício 53

Suponha que F x = f ( g x ) e g 3 = 6 , g’(3)=4 , f ' 3 = 2 e f ' 6 = 7 . Enconte F ' ( 3 )

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Passo 1

Eita! Essa questão tá pedindo pra gente a derivada, mas nem disse qual é a função? E agora o que a gente faz? Então ele nos fala que F ( x ) é uma função composta e nos dá alguns pontos e suas derivadas em determinados pontos para encontrarmos F ' ( 3 ) .

Portanto queremos encontrar:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Em x=3

F ' 3 = f ' g 3 . g ' ( 3 )

Passo 2

Vamos então substituir g ( 3 ) e g ' ( 3 ) na expressão anterior

F ' 3 = f ' 6 . 4

Caímos numa nova incógnita agora f ' ( 6 ) , mas essa informação nos foi dada no enunciado, então é só substituir e encontramos a resposta.

Passo 3

Substituindo agora f ' ( 6 )

F ' 3 = 7.4

F ' 3 = 28

Resposta

F ' 3 = 28

Exercício Resolvido #7

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 241, exercício 59 -modificada

Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

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Passo 1

Bem, aqui ele quer a segunda derivada daquela função f , isso porque tem aquelas duas linhas em cima da f .

Para achar essa segunda derivada temos que derivar duas vezes, lembra? Vamos derivar então.

Repara que dentro da g na equação da f , temos um x 2 isso nos diz que temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer

u x = x 2

Isso vai ajudar nas nossas contas para entender qual função está dentro da onde e como fica a regra da cadeia. A nossa f vai ficar

f x = x g u x

Passo 2

Fazendo a primeira derivada vamos ter que aplicar a regra da cadeia e a regra do produto, então vamos ter

f ' x = x ' g u x + x g u x '

Então vamos ter

f ' x = g u x + x g ' u x ∙ u ' x

Passo 3

Vamos trocar só a derivada de u x ali em cima, isso porque vai ajudar nas contas, como temos que derivar de novo para achar a segunda derivada vamos deixar o u x dentro da g e da g '

u ' x = 2 x

Assim a f ' vai ficar

f ' x = g u x + 2 x 2 g ' u x

Passo 4

Vamos, agora, para a segunda derivada. Vamos usar, de novo, a regra do produto e a regra da cadeia.

f ' ' x = g u x ' + 2 x 2 ' g ' u x + 2 x 2 g ' u x '

f ' ' x = g ' u x u ' x + 4 x g ' u x + 2 x 2 g ' ' u x ∙ u ' x

Agora, trocando a derivada de u ' x que já calculamos ali em cima vamos ter

f ' ' x = g ' u x 2 x + 4 x g ' u x + 4 x 3 g ' ' u x

Agora podemos trocar u x por x 2 , afinal a nossa resposta só pode depender de g , g ' , g ' ' e x .

f ' ' x = 2 x g ' x 2 + 4 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

Resposta

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

Exercício Resolvido #8

Elaboração Própria

Seja g uma função diferenciável tal que g 0 = 1 e g ' 0 = 0