Teoria
Quando estamos estudando Cálculo na faculdade, em algum momento começamos a lidar com as Derivadas, nessa página tentaremos aprender a Regra da Cadeia, que é uma técnica de resolução de Derivadas.
No nosso site você encontra, tópicos para todos os tipos de técnica de derivação que são ensinados na sua faculdade, e além disso todo tópico conta com uma sessão de exercícios resolvidos, organizados em ordem crescente de dificuldade, carinhosamente pela nossa equipe de Experts. Tudo isso para você mandar bem na sua prova!
Regra da Cadeia
A regra da cadeia é uma propriedade de derivação que vai ser muito utilizada por você nos seus exercícios e provas. O caso em que ela será utilizada, será quando existir um "aninhamento" de funções, ou seja, um tipo de função dentro de outra.
Como sempre esse tipo de matéria, para aprendermos técnicas, sempre fica mais fácil com exemplos e exercícios, mas é muito importante termos as teorias em mente, por isso, matematicamente podemos representar a regra da cadeia como:
Fica um pouco confuso conforme a definição, mas a gente tem uma lista de exemplos preparada no nosso estilo de resolução Passo a Passo para você ter um gostinho de como fazemos a regra da cadeia na prática! Depois você pode aproveitar e conferir os exercícios resolvidos que temos desse tópico no nosso site!
Exercícios
Então sem perda de tempo, vamos ver como resolvemos derivadas utilizando a regra da cadeia!
- Derive a equação:
Passo 1
Nesse primeiro exercício, primeiro vamos identificar as funções que compõe a função
Então quando fazemos:
Já conseguimos separar nossas funções.
Passo 2
Então agora podemos dizer que
A derivada de quem está fora:
A derivada de quem está dentro:
Vamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
A Regra da Cadeia diz para gente que a nossa derivada, é a derivada de que está fora repetindo quem está dentro, vezes a derivada de quem está dentro, então no caso do exemplo teríamos:
Não esquece de colocar o termo
Resposta
- Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
Hmmm.... Como resolver isso? Nós temos uma função trigonométrica
Se eu compor,
Viu como separamos nossas funções
Passo 2
Vamos calcular as derivadas:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a nossa derivada, é a derivada de que está fora repetindo quem está dentro, multiplicado pela derivada de quem está dentro, então no caso do exemplo teríamos
Resposta
- Derive a função:
Nesse exercício, acompanhe nossa resolução em vídeo, e tente fazer junto com o nosso Expert Ruan! Ele vai seguir mostrando todos os passos do raciocínio para você não ficar perdido, e ainda vai te ensinar um macete, para deixar tudo facinho para você! Fica de olho:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.
Derive a seguinte função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).
Passo 1
Neste caso é como se tivéssemos uma função “dentro” da outra. A função estaria dentro da função , deste modo:
Agora, a gente consegue separar a função em duas. Então vamos chamar a função cosseno de e a função de , ficando assim,
Como, a função cosseno está dentro da função . Teremos,
Passo 2
A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma qualquer, temos sua derivada dada por:
O que isso que dizer? Nós vamos primeiro derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro.
Derivando a função de fora ficamos com,
Derivando a função de dentro ficamos com,
Passo 3
Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:
Essa é a derivada!
Resposta
Exercício Resolvido #2
George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.199-78b
Determine usando a regra da cadeia, sendo uma função composta de
Passo 1
Ora, nesse caso nós temos um em função de e um em função de . Assim podemos escrever:
Passo 2
Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:
Escrevendo de outra forma, nós temos,
Passo 3
Derivando cada uma das funções que mostramos na Regra da Cadeia, ou seja, e , teríamos:
Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia :
Passo 4
Novamente, nós temos um em função de e um em função de . Assim, é possível escrever:
Passo 5
Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:
Escrevendo de outra forma, nós temos,
Passo 6
Derivando cada uma das funções, teríamos:
Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Derive a função:
Passo 1
Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.
Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:
De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:
Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.
Passo 2
Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:
Isso vai dar:
No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:
Fazendo a regra da cadeia de novo:
E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:
E fazendo a regra da cadeia temos:
Passo 3
Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:
Chegamos à:
Passo 4
A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:
Pode ser entendido como:
Se fizermos:
Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:
Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:
E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:
E uma terceira e última vez também tem que ser feita:
De forma que a derivada vai ficar:
Agora é só substituir já que sabemos todas as funções e suas derivadas. Pro primeiro termo dos quatro, temos com substituído por , logo:
No segundo termo, temos com substituído por , logo:
No terceiro termo, temos com substituído por , logo:
E pra finalizar sobrou só o já conhecido. Juntando tudo:
A derivada fica:
Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)
Resposta
Exercício Resolvido #4
Derive:
Passo 1
Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:
Sendo um número qualquer. Ok, mas se ao invés de tivéssemos uma função?
Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:
E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:
E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:
Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:
Passo 2
Se lembrarmos bem, quando derivamos elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:
Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima
A gente vê bem que é esse . No caso, vai ser:
Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:
Passo 3
Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:
Juntando tudo:
E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:
Fechamos a questão com:
Resposta
Exercício Resolvido #5
PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 - 1 b
Derive as funções abaixo:
Passo 1
Temos aqui uma função composta. Há uma por fora, e uma função dentro dela dada por . Por definição, derivamos pela Regra da Cadeia a e ficaríamos assim:
Passo 2
Vamos determinar e
Passo 3
Para determinar a derivada de precisamos recorrer a regra da cadeia de novo, onde
Passo 4
Agora vamos na fórmula que achamos para a Derivada de :
Resposta
Exercício Resolvido #6
James Stewart, Cálculo Vol.1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 224, exercício 53
Suponha que e , g’(3)=4 , e . Enconte
Passo 1
Eita! Essa questão tá pedindo pra gente a derivada, mas nem disse qual é a função? E agora o que a gente faz? Então ele nos fala que é uma função composta e nos dá alguns pontos e suas derivadas em determinados pontos para encontrarmos .
Portanto queremos encontrar:
Em x=3
Passo 2
Vamos então substituir e na expressão anterior
Caímos numa nova incógnita agora , mas essa informação nos foi dada no enunciado, então é só substituir e encontramos a resposta.
Passo 3
Substituindo agora
Resposta
Exercício Resolvido #7
James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 241, exercício 59 -modificada
Encontre em termos de , e