Regra da Cadeia

Teoria Completa

Essa é uma regra de derivação importante para caramba (faz um pôster dela!). Ela trata de funções compostas. Para derivar uma f g x , composta de g em f , teríamos:

f g x ' = f ' g x g ' ( x )

Como, por exemplo:

h x = x 2 + 4 x + 9 7

Aqui, uma alternativa seria abrir esse polinômio. Cá entre nós, isso é algo bizarramente surreal.

Mas pera, isso é um polinômio. Então, se derivarmos como fazemos com polinômios vamos ter

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 7 - 1 = 7 x 2 + 4 x + 9 6

Só isso? NÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃO. Se liga que tem uma função dentro daquele parênteses ne?

Repara que na verdade temos: h x = f ( g ( x ) ) , Onde f x = x 7 e g x = x 2 + 4 x + 9 . Uma composta de g em f . Então temos que usar a regra da cadeia.

Primeiro derive como se tudo que estivesse em parênteses fosse x .

7 x 2 + 4 x + 9 6

E depois multiplique pela derivada da função dentro (o g x ), ou seja:

h ' x = 7 x 2 + 4 x + 9 6 g ' x =   7 x 2 + 4 x + 9 6 2 x + 4

A questão sempre é definir quem está dentro de quem e aplicar a fórmula.

Legal? Bora para os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

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Passo 1

Começamos separando a função em duas. Repara, temos um cosseno elevado ao quadrado, então podemos entender esse cara como uma função cosseno e uma função x 2 . Ora, se modelarmos as funções por:

h x = cos ⁡ x       ;       g x = x 2

Teremos,

f x = g h x

Passo 2

A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma f x = g h x qualquer, temos sua derivada dada por:

f ' x = g ' h x h ' x

Com isso, temos que calcular as derivadas de h e g :

h ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x       ;       g ' x = x 2 ' = 2 x

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:

f ' x = g ' h x h ' x = 2 h x - sen ⁡ x

= - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Essa é a derivada!

Resposta

f ' x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.199-78b

Determine d y d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

a   y = u 3                     e                     u = x

b   y = u                     e                     u = x 3

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Passo 1

a Ora, nesse caso nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim podemos escrever:

y u x

Passo 2

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Passo 3

Derivando cada uma das funções que mostramos na Regra da Cadeia, ou seja, y ' u x e     u ' x , teríamos:

d y d u = u 3 ' = 3 u 2

d u d x = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia :

y u x ' = y ' u x     u ' x = 3 u 2 1 2 x - 1 2

= 3 x 1 2 2 1 2 x - 1 2

= 3 2 x 1 2

Passo 4

( b ) Novamente, nós temos um y em função de u e um u em função de x . Assim, é possível escrever:

y u x

Passo 5

Para derivar esse cara, usamos a Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x

Passo 6

Derivando cada uma das funções, teríamos:

d y d u = u 1 2 ' = 1 2 u - 1 2

d u d x = x 3 ' = 3 x 2

Logo, substituindo as derivadas na expressão da Regra da Cadeia:

y u x ' = y ' u x     u ' x = 1 2 u - 1 2 3 x 2

= 3 2 x 3 - 1 2 x 2

= 3 2 x 1 2

Resposta

a   3 2 x 1 2

b   3 2 x 1 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Derive a função:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

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Passo 1

Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.

Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:

f x = x 3       ;       g x = sin ⁡ ln ⁡ x 2    

De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:

y = f g x

Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.

Passo 2

Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:

y ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

Isso vai dar:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 '

No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:

f x = sin ⁡ x       ;       g x = ln ⁡ x 2    

Fazendo a regra da cadeia de novo:

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ ln ⁡ x 2 '

E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:

f x = ln ⁡ x       ;       g x = x 2    

E fazendo a regra da cadeia temos:

ln ⁡ x 2 ' = f g x ' = f ' g x ∙ g x '

ln ⁡ x 2 ' = 1 x 2 ∙ x 2 ' = 1 x 2 ∙ 2 x = 2 x

Passo 3

Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 '

sin ⁡ ln ⁡ x 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ ln ⁡ x 2 '

ln ⁡ x 2 ' = 2 x

Chegamos à:

y ' = 3 ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ 2 x

y ' = 6   ∙ sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Passo 4

A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:

y = sen 3 ⁡ ( ln ⁡ ( x 2 ) )

Pode ser entendido como:

y = f g h i x

Se fizermos:

f x = x 3 h x = ln ⁡ x g x = sin ⁡ x i x = x 2

Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:

f ' x = 3 x 2 h ' x = 1 x g ' x = cos ⁡ x i ' x = 2 x

Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:

y ' = f g h i x ' = f ' g h i x ∙ g h i x '

E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:

g h i x ' = g ' h i x ∙ h i x '

E uma terceira e última vez também tem que ser feita:

h i x ' = h ' i x ∙ i x '

De forma que a derivada vai ficar:

y ' = f ' g h i x ∙ g ' h i x ∙ h ' i x ∙ i ' x

Agora é só substituir já que sabemos todas as funções e suas derivadas. Pro primeiro termo dos quatro, temos f ' x com x substituído por g h i x , logo:

f ' x = 3 x 2 g h i x = sin ⁡ ln ⁡ x 2

f ' g h i x = 3 ∙ sin ⁡ ln ⁡ x 2 2 = 3 ∙ sin 2 ⁡ ln ⁡ x 2

No segundo termo, temos g ' x com x substituído por h i x , logo:

g ' x = cos ⁡ x h i x = ln ⁡ x 2

g ' h i x = cos ⁡ ln ⁡ x 2

No terceiro termo, temos h ' x com x substituído por i x , logo:

h ' x = 1 x i x = x 2

h ' i x = 1 x 2

E pra finalizar sobrou só o i ' x = 2 x já conhecido. Juntando tudo:

f ' g h i x = 3 ∙ sin 2 ⁡ ln ⁡ x 2 g ' h i x = cos ⁡ ln ⁡ x 2 h ' i x = 1 x 2 i ' x = 2 x

A derivada fica:

y ' = f ' g h i x ∙ g ' h i x ∙ h ' i x ∙ i ' x

y ' = 3 ∙ sin 2 ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ cos ⁡ ln ⁡ x 2 ∙ 1 x 2 ∙ 2 x

y ' = 6 sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)

Resposta

y ' = 6 sen 2 ⁡ ln ⁡ x 2 cos ⁡ ln ⁡ x 2 x

Exercício Resolvido #4

Derive:

y = x sinh ⁡ x

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Passo 1

Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:

a = e ln ⁡ a

Sendo a um número qualquer. Ok, mas se ao invés de a tivéssemos uma função?

f x = e ln ⁡ f x

Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:

y = e ln ⁡ y = e ln ⁡ x sinh ⁡ x

E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:

y = e ln ⁡ x sinh ⁡ x = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:

Passo 2

Se lembrarmos bem, quando derivamos e elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:

e g x ' = g ' x   ∙   e g x

Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima

y = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

A gente vê bem que é esse g x . No caso, vai ser:

g x = sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:

g ' x = sinh ⁡ x   ' ∙   ln ⁡ x +   sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x '

g ' x = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Passo 3

Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:

y ' = e g x ' = g ' x   ∙   e g x

g x = sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

g ' x = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Juntando tudo:

y ' = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x   e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:

x sinh ⁡ x = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Fechamos a questão com:

y ' =   x sinh ⁡ x   cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Resposta

y ' =   x sinh ⁡ x   cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ - Cálculo 1 - P4 2010.1 - 1 b

Derive as funções abaixo:

b   f x = 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

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Passo 1

Temos aqui uma função composta. Há uma g x = 3 x por fora, e uma função h x dentro dela dada por 2 x 7 - cos ⁡ 4 x . Por definição, derivamos pela Regra da Cadeia a f x e ficaríamos assim:

S e   f x = g h x ,     f ' x = g ' h x h ' x

Passo 2

Vamos determinar g ' x e h ' x

g ' x = 3 x ' = 3 x ln ⁡ 3

h ' x = 2 x 7 - cos ⁡ 4 x ' = 14 x 6 - ( cos ⁡ 4 x ) '

Passo 3

Para determinar a derivada de cos ⁡ 4 x precisamos recorrer a regra da cadeia de novo, onde

s x = 4 x   ; t x = cos ⁡ x

t s x ' = t ' s x s ' x = - 4 sen ⁡ 4 x

Passo 4

Agora vamos na fórmula que achamos para a Derivada de f :

f ' x = g ' h x h ' x = 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x ln ⁡ 3 14 x 6 + 4 sen ⁡ 4 x

= ln ⁡ 3 14 x 6 + 4 sen ⁡ 4 x 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

Resposta

f ' x = ln ⁡ 3 14 x 6 + 4 sen ⁡ 4 x 3 2 x 7 - cos ⁡ 4 x

Exercício Resolvido #6

James Stewart, Cálculo Vol.1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 224, exercício 53

Suponha que F x = f ( g x ) e g 3 = 6 , g’(3)=4 , f ' 3 = 2 e f ' 6 = 7 . Enconte F ' ( 3 )

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Passo 1

Eita! Essa questão tá pedindo pra gente a derivada, mas nem disse qual é a função? E agora o que a gente faz? Então ele nos fala que F ( x ) é uma função composta e nos dá alguns pontos e suas derivadas em determinados pontos para encontrarmos F ' ( 3 ) .

Portanto queremos encontrar:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Em x=3

F ' 3 = f ' g 3 . g ' ( 3 )

Passo 2

Vamos então substituir g ( 3 ) e g ' ( 3 ) na expressão anterior

F ' 3 = f ' 6 . 4

Caímos numa nova incógnita agora f ' ( 6 ) , mas essa informação nos foi dada no enunciado, então é só substituir e encontramos a resposta.

Passo 3

Substituindo agora f ' ( 6 )

F ' 3 = 7.4

F ' 3 = 28

Resposta

F ' 3 = 28

Exercício Resolvido #7

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, Pg 241, exercício 59 -modificada

Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

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Passo 1

Bem, aqui ele quer a segunda derivada daquela função f , isso porque tem aquelas duas linhas em cima da f .

Para achar essa segunda derivada temos que derivar duas vezes, lembra? Vamos derivar então.

Repara que dentro da g na equação da f , temos um x 2 isso nos diz que temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer

u x = x 2

Isso vai ajudar nas nossas contas para entender qual função está dentro da onde e como fica a regra da cadeia. A nossa f vai ficar

f x = x g u x

Passo 2

Fazendo a primeira derivada vamos ter que aplicar a regra da cadeia e a regra do produto, então vamos ter

f ' x = x ' g u x + x g u x '

Então vamos ter

f ' x = g u x + x g ' u x ∙ u ' x

Passo 3

Vamos trocar só a derivada de u x ali em cima, isso porque vai ajudar nas contas, como temos que derivar de novo para achar a segunda derivada vamos deixar o u x dentro da g e da g '

u ' x = 2 x

Assim a f ' vai ficar

f ' x = g u x + 2 x 2 g ' u x

Passo 4

Vamos, agora, para a segunda derivada. Vamos usar, de novo, a regra do produto e a regra da cadeia.

f ' ' x = g u x ' + 2 x 2 ' g ' u x + 2 x 2 g ' u x '

f ' ' x = g ' u x u ' x + 4 x g ' u x + 2 x 2 g ' ' u x ∙ u ' x

Agora, trocando a derivada de u ' x que já calculamos ali em cima vamos ter

f ' ' x = g ' u x 2 x + 4 x g ' u x + 4 x 3 g ' ' u x

Agora podemos trocar u x por x 2 , afinal a nossa resposta só pode depender de g , g ' , g ' ' e x .

f ' ' x = 2 x g ' x 2 + 4 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2