Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

13.

y = x 2 e - 3 x

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

y = x 2 e - 3 x

E sempre que precisamos derivar uma função, a ideia é olhar direitinho pra entender quais são suas características e assim descobrir a melhor estratégia de derivação.

No caso de nossa função y , perceba que ela é formada pelo pela multiplicação de duas outras funções. Podemos vê-las como sendo:

f x = x 2

E

g x = e - 3 x

assim,

y = f x g x

E para fazer essa derivada, basta usarmos a regra do produto, que é essa aqui:

y ' = f ' g + f g '

Assim, precisaremos das funções f ( x ) , g x e de suas derivadas para aplicação nessa fórmula.

Vamos ver como desenrolar essa questão, então.

Passo 2

Já sabemos que nossa função é:

y = x 2 e - 3 x

com

f x = x 2

E

g x = e - 3 x

Vamos procurar suas derivadas. Começando com

f x = x 2

E como temos uma potência de x , podemos derivar usando a regra do expoente.

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' x = 2 x

E para a função:

g x = e - 3 x

Opa, essa daí é uma função exponencial, isso porque a variável está no expoente, mas ela não está sozinha, ela está sendo multiplicada por uma constante - 3 . Dizemos que essa é uma função composta.

E sua derivada será dada pela regra da cadeia, que é essa aqui:

e u ' = e u ⋅ u '

E como a derivada - 3 x ' = - 3 , temos:

g ' x = e - 3 t ⋅ - 3

Que pode ser escrita como:

g ' x = - 3 e - 3 t

Show.

Passo 3

Lembrando que nossa função originalmente é:

y = x 2 e - 3 x

E fizemos:

y = f x g x

Sua derivada é dada por:

y ' = f ' g + f g '

Sendo:

f x = x 2

com

f ' x = 2 x  

E

g x = e - 3 x

Com

g ' x = - 3 e - 3 x

Substituindo, teremos:

y ' = 2 x ⋅ e - 3 x + x 2 ⋅ - 3 e - 3 x

Podemos colocar o e - 3 x em evidência:

y ' = 2 x - 3 x 2 ⋅ e - 3 x

E prontinho. Derivada encontrada com sucesso!

Resposta

y ' = 2 x - 3 x 2 ⋅ e - 3 x

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