Enunciado

7 – 46 Encontre a derivada da função.

13. y = x^2 e^(- 3 x)

Passo 1

Aplicando a derivada na função, temos:

y^' = (d)/(d x) (x^2 e^(- 3 x))

Perceba que tem um produto de duas funções, então devemos usar a regra do produto para conseguir resolver:

y^' = (d)/(d x) (x^2) * e^(- 3 x) + (d)/(d x) (e^(- 3 x)) * x^2

A derivada do primeiro termo é de um polinômio:

y^' = (2 x) * e^(- 3 x) + (d)/(d x) (e^(- 3 x)) * x^2

Porém essa derivada que sobrou é de uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia para derivar o seguinte termo:

(d)/(d x) (e^(- 3 x))

Passo 2

A função interna é a seguinte:

u = g (x) = - 3 x

E a externa é:

f (u) = e^u

A derivada de uma função composta:

f (g (x))

onde

g (x) = u

vai ser igual a

f^' (x) = (d)/(d u) (f (u)) * (d)/(d x) (g (x))

Então a derivada da nossa função fica

f^' (x) = (d)/(d u) (e^u) * (d)/(d x) (- 3 x)

As duas derivadas são de polinômios:

f^' (x) = (e^u) * (- 3)

Como

u = g (x) = - 3 x

então a derivada é igual a

f^' (x) = - 3 e^(- 3 x)

Passo 3

Então a função vai ficar assim:

y^' = (2 x) * e^(- 3 x) + (- 3 e^(- 3 x)) * x^2

Colocando e^(- 3 x) em evidência:

y^' = (2 x - 3 x^2) * e^(- 3 x)

Resposta

y^' = (2 x - 3 x^2) * e^(- 3 x)

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