Enunciado

  1. Mostre que qualquer função da forma
  2. y = A senh ⁡ m x + B cosh ⁡ m x

    satisfaz a equação diferencial y ' ' = m ² y .

  3. Encontre y = y ( x ) tal que y = 9 y ' ' , y 0 = - 4 , e y ' 0 = 6 .

Passo 1

  1. Vamos calcular a primeira e segunda derivada da função, para isso vamos usar algumas regras de derivação, a da multiplicação por constante, de funções hiperbólicas e da cadeia:
  2. k f x ' = k f ' ( x )

    senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

    cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

    F ' x = f ' g x . g ' x

    Passo 2

    Para a primeira temos vamos usar a regra da soma além das já citadas, lembrando que A , B e m são constantes:

    y ' = A senh ⁡ m x + B cosh ⁡ m x ' = A senh ⁡ m x ' + B cosh ⁡ m x ' = A senh ⁡ m x ' + B cosh ⁡ m x ' = A cosh ⁡ m x m x ' + B senh ⁡ m x m x ' = A cosh ⁡ m x m x 1 - 1 + B senh ⁡ m x m x 1 - 1 = m A cosh ⁡ m x + m B senh ⁡ m x

    Passo 3

    Agora vamos para a segunda derivada, usaremos todas as regras usadas no passo anterior:

    y ' ' = m A cosh ⁡ m x + m B senh ⁡ m x ' = m A cosh ⁡ m x ' + m B senh ⁡ m x ' = m A cosh ⁡ m x ' + m B senh ⁡ m x ' = m A senh ⁡ m x m x ' + m B cosh ⁡ m x m x ' = m A senh ⁡ m x m x 1 - 1 + m B cosh ⁡ m x m x 1 - 1 = m 2 A senh ⁡ m x + m 2 B cosh ⁡ m x = m 2 A senh ⁡ m x + B cosh ⁡ m x

    E como temos que:

    y = A senh ⁡ m x + B cosh ⁡ m x

    Temos que:

    y ' ' = m 2 A senh ⁡ m x + B cosh ⁡ m x = m 2 y

    Passo 4

    1. Para achar y = y ( x ) vamos fazer as substituições:

    De y ' ' = 9 y temos a partir do passo 3 que m = 3 , então:

    y = A senh ⁡ 3 x + B cosh ⁡ 3 x

    Agora para achar os valores A e B vamos substituir os dois valores abaixo na expressão de y :

    y 0 = - 4 → - 4 = A senh ⁡ 3 . 0 + B cosh ⁡ 3 . 0 → - 4 = A senh ⁡ 0 + B cosh ⁡ 0

    y ' 0 = 6 → 6 = m A cosh ⁡ m x + m B senh ⁡ m x → 6 = 3 A cosh ⁡ 3.0 + 3 B senh ⁡ 3.0 → 6 = 3 A cosh ⁡ 0 + 3 B senh ⁡ 0

    Assim temos o sistema:

    - 4 = A senh ⁡ 0 + B cosh ⁡ 0 6 = 3 A cosh ⁡ 0 + 3 B senh ⁡ 0

    E temos que:

    senh ⁡ 0 = e 0 - e - 0 2 = 0

    cosh ⁡ 0 = e 0 + e - 0 2 = 1

    Assim:

    - 4 = A . 0 + B . 1 6 = 3 . A . 1 + 3 . B . 0 → B = - 4 A = 2

    Por fim chegamos ao que queríamos:

    y = 2 senh ⁡ 3 x - 4 cosh ⁡ 3 x

    Resposta

  3. y = 2 senh ⁡ 3 x - 4 cosh ⁡ 3 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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