Encontre a derivada da função dada:

g(x) = tgh^(-1)(cos(e^x))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh - 1 ⁡  

tgh - 1 ⁡ x ' = 1 1 - x 2

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

g x = h f w x

Com

h x = tgh - 1 ⁡ x

f x = cos ⁡ x

w x = e x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

g ' x = h ' f w x f w x '

g ' x = h ' f w x f ' w x w ' x

Temos

g ' x = 1 1 - x 2

Que é a derivada de tgh - 1 ⁡  

Então

g ' x = 1 1 - f w x 2 f ' w x w ' x

Passo 2

Vamos achar a derivada de f x

f x = cos ⁡ x → f ' x = - sen ⁡ x

Vamos ter

g ' x = 1 1 - cos ⁡ w x 2 - cos ⁡ w x w ' x

Passo 3

Vamos agora para w x

w x = e x → w ' x = e ~ x  

Vamos ficar com:

g ' x = 1 1 - cos ⁡ e x 2 - sen ⁡ e x e x

g ' x = - e x sen ⁡ e x 1 - cos 2 ⁡ e x

Lembrando que

1 - cos 2 ⁡ e x = sen 2 ⁡ e x

Vamos ter

g ' x = - e x sen ⁡ e x sen 2 ⁡ e x = - e x sen ⁡ e x

Para finalizar, usamos:

1 sen ⁡ e x = co sec ⁡ e x

g ' x = - e x cosec ⁡ e x

Resposta

g ' x = - e x cosec ⁡ e x

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