Enunciado

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

28 )   f x = ln ⁡ ( c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x )

Passo 1

Quando a gente olha uma função deste tipo, já dá um pouquinho de medo ! Mas calma, que é bem tranquilo !

Se nós lembrarmos do Teorema 8.4.5:

D x   cotgh ⁡ u = - c o s e c h ²   u . D x u

D x   cosech ⁡ u = - c o s e c h   u .   c o t g   u . D x u

Legal, já sabemos como derivamos as funções hiperbólicas, mas não é bem isso que queremos, já que elas estão dentro do ln. Então o que fazemos?

Podemos usar a Regra da Cadeia que vai nos ajudar bastante. Ela nos diz para derivar a função “de fora” e multiplicar pela derivada da “de dentro”, ou seja:

f ' x = D x ln ⁡ ( c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x ) . D x ( c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x )

Vamos por parte:

D x ln ⁡ ( c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x ) = 1 c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x

Passo 2

Muito bem, agora vamos para D x ( c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x ) . Sabemos que:

D x c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x = D x c o t g h   3 x - D x ( c o s e c h   3 x )

Vamos deixar essas derivadas um pouco mais parecidas com o Teorema 8.4.5, chamando:

u = 3 x

Nós precisamos de D x u , então vamos derivar nosso u:

D x u = 3

Para acabar, é só substituir:

D x c o t g h   3 x = - 3 c o s e c h ²   ( 3 x )

D x   cosech ⁡ 3 x = - 3 c o s e c h   ( 3 x ) .   c o t g   ( 3 x )

Então:

f ' x = 1 c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x . ( - 3 c o s e c h 2 3 x + 3 c o s e c h   ( 3 x ) .   c o t g   ( 3 x ) )

Simplificando nosso resultado:

f ' x = 3 . c o s e c h   3 x c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x . [ c o t g h   3 x - c o s e c h   3 x ]

f ' x = 3 . c o s e c h   3 x

Resposta

f ' ( x ) = 3 . c o s e c h   3 x

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