Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 1 1 1 - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la. Observe que a função explode para x = 1 pois o denominador é zerado. Assim, devemos primeiro calcular a integral

∫ 0 t 1 1 - x 2   d x

e, em seguida, tomar o limite t → 1 .

Passo 2

Bom, nosso foco inicial é calcular a integral

∫ 0 t 1 1 - x 2   d x

Nessa altura do jogo, você já deve saber que a primitiva de 1 / 1 - x 2 é a r c s e n   x , se você não tem isso decorado, escreva na parede do seu quarto!!! Desta forma,

∫ 0 t 1 1 - x 2   d x = a r c s e n   x 0 t = a r c s e n   t - a r c s e n   0 = a r c s e n   t

Passo 3

Tomando o limite:

lim t → 1 ⁡ ∫ 0 t 1 1 - x 2   d x = lim t → 1 ⁡ a r c s e n   t = a r c s e n   1 = π 2

Vemos então que essa integral imprópria é convergente!

Resposta

π 2

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Determine o domínio da função F F x = ∫ 0 x t t 2 - 4d t
Esboce o gráfico da função F dada por F x = ∫ 1 x td t
Seja F(x) = ∫ 0 x f t d to n d ef t ={ 1 t s e t≥1 t 2 s e t1 Verifique que F'(x) = f(x) em todo x.
Determine o domínio da função F F x = ∫ 0 x 1 t - 1d t
Esboce o gráfico da função F dada porf) F x = ∫ - 5 x f t d t onde f t = 0 s et ≥ 1 t 2 s et1