Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = x 3 2

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x = x 3 2

E pede pra a gente calcular g ' ( x ) usando a definição derivada e dizer qual é o domínio de g ( x ) e g ' ( x ) .

Vamos relembrar a definição de derivada:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) f

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h → 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Substituindo a nossa função na definição de derivada:

f ' x =   lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) f

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 2 - x 3 2 h

Pra sair disso a gente vai multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador x + h 3 2 + x 3 2 :

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 2 - x 3 2 h   x + h 3 2 + x 3 2 x + h 3 2 + x 3 2

Temos então:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h x + h 3 2 + x 3 2

No numerador temos uma diferença de cubos, lembrando que:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Aqui temos a = x + h e b = x , aplicando:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h - x x + h 2 + x + h x + x 2 h x + h 3 2 + x 3 2

f ' x = lim h → 0 ⁡ h x + h 2 + x + h x + x 2 h x + h 3 2 + x 3 2

Cortando o h já podemos calcular o limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 + x + h x + x 2 x + h 3 2 + x 3 2

f ' x = x 2 + x x + x 2 x 3 2 + x 3 2

f ' x = 3 x 2 2 x 3 2

Finalmente chegamos em:

f ' x = 3 2 x

Pronto, a derivada está calculada. Agora vamos aos domínios.

Passo 3

Para calcular o domínio de uma função temos que pensar em quais pontos essa função não pode ser calculada, temos:

f x = x 3 2 = x 3

A restrição aqui é que a raiz não pode ser negativa, portanto:

x 3 ≥ 0

x ≥ 0

D o m   f x = 0 , ∞

Vamos ver da derivada agora:

f ' x = 3 2 x

Logo, novamente temo que x ≥ 0 , então:

D o m   f ' x = [ 0 ,   ∞ )

Resposta

f ' x = 3 2 x

D o m   f x = 0 , ∞

D o m   f ' x = 0 , ∞

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