Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

g x = 9 - x

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

g x = 9 - x

E pede pra a gente calcular g ' ( x ) usando a definição derivada e dizer qual é o domínio de g ( x ) e g ' ( x ) .

Vamos relembrar a definição de derivada:

g ' x =   lim h → 0 ⁡ g x + h - g ( x ) h

Aqui não tem mistério, temos que substituir e calcular. O único ponto de atenção é que, como h → 0 não podemos calcular direto, se não teremos uma indeterminação! Então vamos ter que dar aquela manipulada no limite pra fugir disso. Beleza?!

Passo 2

Substituindo nossa função:

g ' x =   lim h → 0 ⁡ 9 - x + h - 9 - x h

Podemos multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador 9 - x + h + 9 - x :

g ' x =   lim h → 0 ⁡ 9 - x + h - 9 - x h ( 9 - x - h + 9 - x ) ( 9 - x - h + 9 - x )

Assim temos:

g ' x = lim h → 0 ⁡ 9 - x - h - 9 - x h ( 9 - x - h + 9 - x )

=   g ' x = lim h → 0 ⁡ - h h ( 9 - x - h + 9 - x )  

Cortamos o h :

g ' x = lim h → 0 ⁡ - 1 ( 9 - x - h + 9 - x )  

Agora é só calcular o limite:

g ' x =   - 1 2 9 - x

Prontinho!

Passo 3

Para calcular o domínio de uma função temos que pensar em quais pontos essa função não pode ser calculada, para g x = 9 - x temos uma raiz, que não pode ser negativa, então:

9 - x ≥ 0  

- x ≥ - 9

x ≤ 9

Sendo assim, D o m   g x = ( - ∞ ,   9 ] .

Vamos ver o da derivada agora:

g ' x = - 1 2 9 - x

Aqui temos uma raiz no denominador. A raiz deve ser positiva e o denominador não pode ser igual a zero, então:

9 - x > 0

x < 9

E, daí, D o m   g ' x = ( - ∞ ,   9 ) .

Resposta

g ' x =   - 1 2 9 - x

D o m   g x = ( - ∞ ,   9 ]

D o m   g ' x = ( - ∞ ,   9 )

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