Enunciado

Encontre a derivada da função

F x =   x 4 - 5 x 3 + x x 2

De duas formas: usando a Regra do quociente e simplificando antes. Mostre que suas respostas são equivalentes. Qual método você prefere?

Passo 1

Opa, bora fazer essa questão! O enunciado nos dá:

F x =   x 4 - 5 x 3 + x x 2

E pede pra a gente calcular F ' ( x ) de duas maneiras e comparar se os resultados são iguais! Na primeira usaremos a regra do quociente:

f ' x = g x h x ' = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

E a segunda forma a gente vai pegar a função e manipular ela até o denominador sumir! Assim poderemos usar a regra da potência direto!

Passo 2

Vamos usar a regra do Quociente primeiro:

f ' x = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

Substituindo para o nosso caso:

F ' x =   x 4 - 5 x 3 + x ' x 2 - ( x 4 - 5 x 3 + x ) ( x 2 ) ' x 2 2

Calculando as derivadas:

F ' x =   4 x 3 - 15 x 2 + 1 2 x x 2 - ( x 4 - 5 x 3 + x ) ( 2 x )   x 4

F ' x = 4 x 3 - 15 x 2 + 1 2 x x - ( x 4 - 5 x 3 + x ) ( 2 ) x 3

F ' x = 4 x 4 - 15 x 3 + x 2 x - 2 x 4 + 10 x 3 - 2 x x 3

Vamos simplificar os expoentes agora:

F ' x = 4 x 4 - 15 x 3 + x 1 2 - 2 x 4 + 10 x 3 - 2 x 1 2 x 3

F ' x = 4 x - 15 + 1 2 x 5 2 - 2 x + 10 - 2 x - 5 2  

Finalmente chegamos em:

F ' x = 2 x - 3 2 x 5 2 - 5

Passo 3

Agora vamos fazer com outro método, temos que dividir todos os termos:

F x =   x 4 - 5 x 3 + x x 2 = x 4 x 2 - 5 x 3 x 2 + x 1 2 x 2

Simplificando a expressão de F x antes, ficamos com:

F x = x 2 - 5 x + x - 3 2

Agora é só derivar usando a regrinha da potência:

F ' x = 2 x - 5 - 3 2 x - 5 2

F ' x = 2 x - 5 - 3 2 x 5 2

Igualzinho a primeira forma!

Resposta

F ' x = 2 x - 5 - 3 2 x 5 2

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