Enunciado

Fósseis de dinossauros são velhos demais para serem datados de maneira confiável usando carbono-14. (Veja o Exercício 11.) Suponha que tenhamos um fóssil de dinossauro de 68 milhões de anos. Que fração dos dinossauros vivos 14 C estaria hoje? Suponha que o mínimo

quantidade detectável é de 0,1%. Qual é a idade máxima de um fóssil que poderíamos encontrar usando 14C?

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema temos que determinar a quantidade de carbono-14 de um fóssil de 68 milhões da anos de idade e também temos que determinar a idade máxima que é possível datar sabendo que o limite detectável é de 0,1 % .

Tem ideia de como fazemos isso?

Inicialmente, é necessário encontrarmos uma relação que descreva o problema. Então, considerando que a taxa de decaimento é constante, podemos relacionar a massa do Carbono-14 com uma exponencial:

y t = y 0 e k t

Podemos dizer que m t = y ( t ) , m 0 = m ( t ) , t é o tempo em anos e k é a taxa de decaimento relativo que pode ser calculada com os dados fornecidos.

m t = m 0 e k t

A partir daí, substituímos os valores na função e encontramos os resultados.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar determinando o valor de k ...

No exercicio 11, foi dito que o tempo de meia vida do carbono-14 é de 5730 anos... portanto

m 5730 = m 0 2

Aplicando essa relação em m t , vamos obter

m 5730 = m 0 2 = m 0 e 5730 k

1 2 = e 5730 k

Para isolar k em um lado da igualdade, fazemos l n nos dois lados...

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ e 5730 k

Temos duas propriedades que podemos aplicar aqui... ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b e ln ⁡ e a = a , ou seja

ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 = 5730 k

Se ln ⁡ 1 = 0 , então

5730 k = - ln ⁡ 2 → k = - ln ⁡ 2 5730

Portanto, nossa função m t é escrita em função do tempo como

m t = m 0 e - ln ⁡ 2 5730 t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A princípio, queremos saber quanto de carbono-14 tem em um fóssil de 68 milhões de anos...

Nesse caso, t = 68 · 10 6 anos, logo

m 68 · 10 6 = m 0 e - ln ⁡ 2 5730 68 · 10 6

Para obter um valor em porcentagem (já que não temos a quantidade inicial m 0 ), vamos dividir os dois lados por m 0

m 68 · 10 6 m 0 = e - ln ⁡ 2 5730 68 · 10 6

Aplicando as propriedades que vimos no passo anterior novamente...

m 68 · 10 6 m 0 = 1 2 68 · 10 6 5730

Com o auxílio de uma calculadora, vamos obter que

m 68 · 10 6 m 0 ≈ 0

Ou seja, por esse método de datação, não íamos ter nenhum resíduo de carbono-14 por isso o problema disse que não tínhamos precisão para longos períodos...

Show?

Passo 4

Agora, se a máxima quantidade detectável for de 0,1 % , vamos calcular o valor de t para m t m 0 = 0,001

Reutilizando a equação obtida no final do passo 3, temos

m t m 0 = 1 2 t 5730 = 0,001

1 0,001 = 2 t 5730

1000 = 2 t 5730

Com um auxílio de uma calculadora, vamos obter que

t = 57103,94   a n o s

E terminamos! O que achou? Responde Aí!

Resposta

m 68 · 10 6 m 0 ≈ 0

t = 57103,94   a n o s

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