Enunciado

Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

y = x sin - 1 ⁡ x + 1 - x 2  

Passo 1

Precisamos derivar a função y = x sin - 1 ⁡ x + 1 - x 2 , ou seja:

y ' = d d x x sin - 1 ⁡ x + 1 - x 2

Note que temos uma soma de derivadas, então podemos separa-las da seguinte forma:

y ' = d d x x sin - 1 ⁡ x + d d x 1 - x 2

Então, para derivar d d x x sin - 1 ⁡ x vamos utilizar a regra do produto:

d d x x sin - 1 ⁡ x = x ⋅ 1 1 - x 2 + sin - 1 ⁡ x 1

E então, derivando d d x 1 - x 2 pela regra da cadeia, teos que:

d d x 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2 - 1 2 - 2 x

Passo 2

Pronto, agora vamos somar novamente as duas derivadas que encontramos:

y ' = x ⋅ 1 1 - x 2 + sin - 1 ⁡ x 1 + 1 2 1 - x 2 - 1 2 - 2 x

Isso implica que:

y ' = x 1 - x 2 + sin - 1 ⁡ x - x 1 - x 2 = sin - 1 ⁡ x

Resposta

sin - 1 ⁡ x

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