Calcule a integral.

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente calcule a integral:

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, que é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Lembrando que as prioridades para a substituição de u , seguem a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte algébrica e uma trigonométrica. Então podemos definir:

u = x

E

d v = cos ⁡ π x   d x

A partir daí a gente consegue determinar d u e v , substituir tudo na fórmula da integração por partes e calcular nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Para encontrar d u , basta derivar u . Então, vamos ter:

d u d x = 1

Ou

d u = d x

E para encontrar o v , a gente integra o d v . Então, vamos ter:

∫ d v = ∫ cos ⁡ π x   d x

= 1 π sin ⁡ π x

Lembrando que a nossa integral é definida, então:

v = 1 π sin ⁡ π x 0 1 / 2

Passo 3

Agora substituindo tudo na fórmula da integral por partes, vamos ter:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ 0 1 2 x cos ⁡ π x   d x = x sin ⁡ π x π 0 1 / 2 - ∫ 0 1 / 2 sin ⁡ π x π   d x

Integrando 1 π ∫ 0 1 / 2 sin ⁡ π x   d x , vamos ter:

= x sin ⁡ π x π 0 1 / 2 + cos ⁡ π x π 2 0 1 / 2

Aplicando os limites de integração:

= 1 2 ⋅ 1 π sin ⁡ π ⋅ 1 2 - 1 π sin ⁡ π ⋅ 0 + 1 π 2 cos ⁡ π ⋅ 1 2 - cos ⁡ π ⋅ 0

= 1 2 ⋅ 1 π sin ⁡ π 2 - 1 π sin ⁡ 0 + 1 π 2 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0

Sabendo que sin ⁡ 0 = 0 , cos ⁡ 0 = 1 , sin ⁡ π 2 = 1 e cos ⁡ π 2 = 0 , temos:

= 1 2 ⋅ 1 π ⋅ 1 - 1 π ⋅ 0 + 1 π 2 0 - 1

= 1 2 π - 1 π 2

Prontinho!!!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 π - 1 π 2

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