Encontre a derivada da função

23) y = raiz(1 + 2e^(3x))

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui precisamos derivar uma função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia!

Para começar vamos chamar:

u = 1 + 2 e 3 x

Então:

y = u

Muito bem, já achamos 𝑢   e 𝑦   , em função de 𝑢   . Agora precisamos achar d y d x , mas como?

aplicamos a regra da cadeia:

d y d x = d y d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar 𝑢   com relação à 𝑥   , mas fiquem atentos aqui nós também temos uma função dentro da outra. Temos 𝑒 3 𝑥 que precisa também de aplicação da regra da cadeia.

Se chamarmos:

t = 3 x

Então:

u = 1 + 2 e t

Sendo assim:

d u d x = d u d t . d t d x

Começando:

d u d t = 2 e t

d t d x = 3

Então:

d u d x = 6 e t

Substituindo t:

d u d x = 6 e 3 x

Passo 3

Agora vamos derivar 𝑦   em função de 𝑢   para achar d y d u :

d y d u = 1 2 u - 1 2 = 1 2 u 1 2  

Substituindo 𝑢   :

d y d u = 1 2 1 + 2 e 3 x 1 2

Agora vamos colocar na derivada d y d x do passo 1 que montamos com a regra da cadeia:

d y d x = 1 2 1 + 2 e 3 x 1 2 × 6 e 3 x

Então:

d y d x = 3 e 3 x 1 + 2 e 3 x

Resposta

y ' = 3 e 3 x 1 + 2 e 3 x

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