Enunciado

Encontre a derivada da função

23) y = sqrt(1 + 2 e^(3 x))

Passo 1

Olá, amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui precisamos derivar uma função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia!

Para começar vamos chamar:

u = 1 + 2 e^(3 x)

Então:

y = sqrt(u)

Muito bem, já achamos 𝑢 e 𝑦 , em função de 𝑢 . Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

aplicamos a regra da cadeia:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar 𝑢 com relação à 𝑥 , mas fiquem atentos aqui nós também temos uma função dentro da outra. Temos 𝑒^(3 𝑥) que precisa também de aplicação da regra da cadeia.

Se chamarmos:

t = 3 x

Então:

u = 1 + 2 e^t

Sendo assim:

(d u)/(d x) = (d u)/(d t) . (d t)/(d x)

Começando:

(d u)/(d t) = 2 e^t

(d t)/(d x) = 3

Então:

(d u)/(d x) = 6 e^t

Substituindo t:

(d u)/(d x) = 6 e^(3 x)

Passo 3

Agora vamos derivar 𝑦 em função de 𝑢 para achar (d y)/(d u) :

(d y)/(d u) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) = (1)/(2 u^((1)/(2)))

Substituindo 𝑢 :

(d y)/(d u) = (1)/(2 (1 + 2 e^(3 x))^((1)/(2)))

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) do passo 1 que montamos com a regra da cadeia:

(d y)/(d x) = (1)/(2 (1 + 2 e^(3 x))^((1)/(2))) xx 6 e^(3 x)

Então:

(d y)/(d x) = (3 e^(3 x))/(sqrt(1 + 2 e^(3 x)))

Resposta

y^' = (3 e^(3 x))/(sqrt(1 + 2 e^(3 x)))

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