Encontre a derivada da função

22) f(s) = raiz((s² + 1) / (s² + 4))

Passo 1

Olá, amigo, tudo bem? Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Ela nos pede para que derivemos a função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e uma divisão entre elas. E o que fazemos quando isso acontece? Para a situação que temos uma função dentro de outra precisamos utilizar a regra da cadeia. Já em casos em que temos uma divisão de funções, precisamos utilizar a regra do quociente.

Primeira coisa, usar a Regra do Quociente. Na regra do quociente nós temos:

d d x g x h x = h x g ' x - g x h ' x h x 2

Para isso vamos chamar:

g s = s ² + 1 1 2

h s = s ² + 4 1 2

Vamos precisar da derivada para g   e h   , certo? Agora sim precisaremos da Regra da Cadeia, pois temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Para derivar g s em relação a s   , podemos fazer:

d g ( s ) d s = d g ( s ) d u . d u d s

Então vamos chamar:

u = s ² + 1

E:

g u = u 1 2

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d s . Então vamos derivar u com relação à t:

d u d s = 2 s

Agora vamos derivar g s em função de u   para achar d g ( s ) d u :

d g ( s ) d u = 1 2 u - 1 2

Agora vamos colocar na derivada d g ( s ) d s :

d g ( s ) d s = 1 2 u - 1 2 ( 2 s )

Substituindo u   :

d g ( s ) d s = s s ² + 1 - 1 2

Passo 3

Para derivar h s em relação a s   , podemos fazer:

d h ( s ) d s = d h ( s ) d u . d u d s

Então vamos chamar:

u = s ² + 4

E:

h u = u 1 2

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por d u d s . Então vamos derivar u com relação a s   :

d u d s = 2 s

Agora vamos derivar h s em função de u para achar d h ( s ) d u :

d h ( s ) d u = 1 2 u - 1 2

Agora vamos colocar na derivada d h ( s ) d s :

d h ( s ) d s = 1 2 u - 1 2 ( 2 s )

Substituindo u   :

d h ( s ) d s = s s ² + 4 - 1 2

Passo 4

Agora podemos achar a derivada da função usando a Regra do Quociente, certo?

f ' s = s 2 + 4 1 2 . s s 2 + 1 - 1 2 - s 2 + 1 1 2 s s 2 + 4 - 1 2 [ s 2 + 4 1 2 ]   ²

Então:

f ' s = s 2 + 4 1 2 . s s 2 + 1 - 1 2 - s 2 + 1 1 2 s s 2 + 4 - 1 2 s ² + 4

Reorganizando:

f ' s = s s ² + 4 s 2 + 4 1 2 s 2 + 1 1 2 - s 2 + 1 1 2 s 2 + 4 1 2

Tirando MMC:

f ' s = s s ² + 4 3 s 2 + 1 1 2 s 2 + 4 1 2

Sendo assim:

f ' s = 3 s s 2 + 1 1 2 s 2 + 4 3 2

Resposta

f ' s = 3 s s 2 + 1 1 2 s 2 + 4 3 2

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