Enunciado

Encontre a derivada da função

22) f ( s ) = sqrt((s ² + 1)/(s ² + 4))

Passo 1

Olá, amigo, tudo bem? Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Ela nos pede para que derivemos a função dada.

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra e uma divisão entre elas. E o que fazemos quando isso acontece? Para a situação que temos uma função dentro de outra precisamos utilizar a regra da cadeia. Já em casos em que temos uma divisão de funções, precisamos utilizar a regra do quociente.

Primeira coisa, usar a Regra do Quociente. Na regra do quociente nós temos:

(d)/(d x) ((g (x))/(h (x))) = (h (x) g^' (x) - g (x) h^' (x))/((h (x))^2)

Para isso vamos chamar:

g (s) = (s ² + 1)^((1)/(2))

h (s) = (s ² + 4)^((1)/(2))

Vamos precisar da derivada para g e h , certo? Agora sim precisaremos da Regra da Cadeia, pois temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Para derivar g (s) em relação a s , podemos fazer:

(d g ( s ))/(d s) = (d g ( s ))/(d u) . (d u)/(d s)

Então vamos chamar:

u = s ² + 1

E:

g (u) = u^((1)/(2))

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d s) . Então vamos derivar u com relação à t:

(d u)/(d s) = 2 s

Agora vamos derivar g (s) em função de u para achar (d g ( s ))/(d u) :

(d g ( s ))/(d u) = (1)/(2) u^(- (1)/(2))

Agora vamos colocar na derivada (d g ( s ))/(d s) :

(d g ( s ))/(d s) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) ( 2 s )

Substituindo u :

(d g ( s ))/(d s) = s (s ² + 1)^(- (1)/(2))

Passo 3

Para derivar h (s) em relação a s , podemos fazer:

(d h ( s ))/(d s) = (d h ( s ))/(d u) . (d u)/(d s)

Então vamos chamar:

u = s ² + 4

E:

h (u) = u^((1)/(2))

Já sabemos como achar a derivada, mas primeiro achar cada derivada separadamente.

Vamos começar por (d u)/(d s) . Então vamos derivar u com relação a s :

(d u)/(d s) = 2 s

Agora vamos derivar h (s) em função de u para achar (d h ( s ))/(d u) :

(d h ( s ))/(d u) = (1)/(2) u^(- (1)/(2))

Agora vamos colocar na derivada (d h ( s ))/(d s) :

(d h ( s ))/(d s) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) ( 2 s )

Substituindo u :

(d h ( s ))/(d s) = s (s ² + 4)^(- (1)/(2))

Passo 4

Agora podemos achar a derivada da função usando a Regra do Quociente, certo?

f^' (s) = ((s^2 + 4)^((1)/(2)) . s (s^2 + 1)^(- (1)/(2)) - (s^2 + 1)^((1)/(2)) s (s^2 + 4)^(- (1)/(2)))/([ (s^2 + 4)^((1)/(2)) ] ²)

Então:

f^' (s) = ((s^2 + 4)^((1)/(2)) . s (s^2 + 1)^(- (1)/(2)) - (s^2 + 1)^((1)/(2)) s (s^2 + 4)^(- (1)/(2)))/(s ² + 4)

Reorganizando:

f^' (s) = (s)/(s ² + 4) [((s^2 + 4)^((1)/(2)))/((s^2 + 1)^((1)/(2))) - ((s^2 + 1)^((1)/(2)))/((s^2 + 4)^((1)/(2)))]

Tirando MMC:

f^' (s) = (s)/(s ² + 4) [(3)/((s^2 + 1)^((1)/(2)) (s^2 + 4)^((1)/(2)))]

Sendo assim:

f^' (s) = (3 s)/((s^2 + 1)^((1)/(2)) (s^2 + 4)^((3)/(2)))

Resposta

f^' (s) = (3 s)/((s^2 + 1)^((1)/(2)) (s^2 + 4)^((3)/(2)))

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