Enunciado

Derive a função.

G (y) = ln ((2 y + 1)^5)/(sqrt(y^2 + 1))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos pede que derivemos a seguinte função:

G (y) = ln ((2 y + 1)^5)/(sqrt(y^2 + 1))

A primeira coisa que devemos saber é que a derivada do logaritmo natural é dada por:

(ln u)^' = (1)/(u) u^'

Mas antes de derivar, a gente pode utilizar uma propriedade dos logaritmos para deixar essa função de uma forma mais fácil de a gente derivar.

Se liga nas propriedades:

log ((x)/(y)) = log x - log y

E

log (x)^p = p log (x)

.

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Temos que:

G (y) = ln ((2 y + 1)^5)/(sqrt(y^2 + 1))

Arrumando um pouco essa expressão, temos que:

G (y) = ln (2 y + 1)^5 - ln (y^2 + 1)^((1)/(2)) :.

G (y) = 5 ln (2 y + 1) - (1)/(2) ln ( y^2 + 1 )

Derivando essa função, temos que:

G^' (y) = 5 * (1)/(2 y + 1) * (2 y + 1)^' - (1)/(2) * (1)/(y^2 + 1) (y^2 + 1)^' :.

G^' (y) = 5 * (1)/(2 y + 1) * 2 - (1)/(2) * (1)/(y^2 + 1) * 2 y :.

G^' (y) = (10)/(2 y + 1) - (y)/(y^2 + 1)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(10)/(2 y + 1) - (y)/(y^2 + 1)

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