Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = cotgh^(- 1) sqrt(x^2 + 1)

Passo 1

Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

y = cotgh^(- 1) sqrt(x^2 + 1) = cotgh^(- 1) ((x^2 + 1)^((1)/(2)))

Passo 2

Agora vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão, vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia , do polinômio e da função constante:

(cotgh^(- 1) x)^' = - (1)/(1 - x^2)

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Passo 3

Vamos agora derivar!! Vamos usar a regra da subtração também:

y^' = (cotgh^(- 1) ((x^2 + 1)^((1)/(2))))^' = (- (1)/(1 - ((x^2 + 1)^((1)/(2)))^2)) . ((x^2 + 1)^((1)/(2)))^' = (- (1)/(1 - (x^2 + 1)^((2)/(2)))) . ((1)/(2) (x^2 + 1)^((1)/(2) - 1)) . (x^2 + 1)^' = (- (1)/(1 - (x^2 + 1))) . ((1)/(2) (x^2 + 1)^(- (1)/(2))) . (2 x^(2 - 1) + 0) = (- (1)/(1 - x^2 - 1)) . ((1)/(2 sqrt(x^2 + 1))) . 2 x = (1)/(x sqrt(x^2 + 1))

Resposta

y^' = (1)/(x sqrt(x^2 + 1))

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