Enunciado

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Encontre d y / d x derivando implicitamente.

x y = 1 + x 2 y

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. É pedido a derivada de y com relação a x que deve ser obtida por derivação implícita. Assim, a resposta é dado tanto em função de x como de y (que depende implicitamente de x ).

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação x y 1 / 2 = 1 + x 2 y com relação a x , temos que

1 2 x y - 1 / 2 ⋅ x y ' = 2 x ⋅ y + x 2 ⋅ y '

Assim,

1 2 x y   1 ⋅ y + x ⋅ y ' = 2 x y + x 2 y '

Multiplicando em cruz:

y + x y ' = 4 x y x y + 2 x 2 x y y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   x - 2 x 2 x y = 4 x y x y - y

y ' = 4 x y x y - y x - 2 x 2 x y

Resposta

R: y ' = 4 x y x y - y x - 2 x 2 x y

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Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita7. x + y
Encontre d y / d x derivando implicitamente. x 2 + y 3 = 1
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Encontre d y / d x derivando implicitamente. 1 + x = s e n ( x y 2 )