Enunciado

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

sqrt(x y) = 1 + x^2 y

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. É pedido a derivada de y com relação a x que deve ser obtida por derivação implícita. Assim, a resposta é dado tanto em função de x como de y (que depende implicitamente de x ).

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, (f (y))^' = f^' (y) * y ' .

Derivando a equação (x y)^(1 // 2) = 1 + x^2 y com relação a x , temos que

(1)/(2) (x y)^(- 1 // 2) * (x y)^' = 2 x * y + x^2 * y '

Assim,

(1)/(2 sqrt(x y)) (1 * y + x * y^') = 2 x y + x^2 y '

Multiplicando em cruz:

y + x y^' = 4 x y sqrt(x y) + 2 x^2 sqrt(x y) y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' (x - 2 x^2 sqrt(x y)) = 4 x y sqrt(x y) - y

y^' = (4 x y sqrt(x y) - y)/(x - 2 x^2 sqrt(x y))

Resposta

R: y^' = (4 x y sqrt(x y) - y)/(x - 2 x^2 sqrt(x y))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine d y // d x por derivação implícita 5 x ^(4 // 5) + 10 y ^(6 // 5) = 15
Determine d r // d s da seguinte expressão 2 r s - r - s + s^2 = - 3
Fólio de Descartes (Veja a Figura 3.28):Determine o coeficiente angular do fólio de Descartes x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos ( 4,2 ) e ( 2,4 ) .Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangent
Normais paralelas a uma reta: Determine as normais à curva x y + 2 x - y = 0 que sejam paralelas à reta 2 x + y = 0 .
Normal que cruza: Em que outro ponto a reta normal à curva x 2 + 2 x y - 3 y 2 = 0 em ( 1,1 ) cruza a curva em outro ponto?