Se f e g forem funções contínuas com, f(3) = 5 e lim x → 3 ⁡ [ 2 f x - g x ] = 4 , encontre g(3) .

Passo 1

Opa, bora lá!

A questão introduz duas funções contínuas f e g , dá o valor de f em x = 3 ( f 3 = 5 ), dá o valor de um limite envolvendo f e g quando x tende a 3 ( lim x → 3 ⁡ [ 2 f x - g x ] = 4 ) e pede o valor de g ( 3 ) .

O que é necessário para resolver a questão é conhecer as propriedades dos limites e a definição de continuidade. Relembrando, uma função é contínua em determinado ponto se o limite da função quando x tender a esse ponto for igual ao valor da função no ponto.

Passo 2

Vamos utilizar a propriedade de subtração dos limites:

lim x → 3 ⁡ 2 f x - g x = lim x → 3 ⁡ 2 f x - lim x → 3 ⁡ g x

= 2 lim x → 3 ⁡ f x -   lim x → 3 ⁡ g x = 4

Passo 3

Por outro lado, como f e g são contínuas, da definição de continuidade segue que

lim x → 3 ⁡ f x = f 3

lim x → 3 ⁡ g x = g 3

Assim, a relação encontrada no passo 2 pode ser escrita como

2   f 3 - g 3 = 4

Substituindo f 3 = 5 no passo 3, obtemos 2 ⋅ 5 - g 3 = 4 . Assim, g 3 = 6 .

Resposta

g 3 = 6 .

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