Enunciado

Encontre d y / d x por derivação implícita.

4 cos ⁡ x   s e n   y = 1

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

4 cos ⁡ x   s e n   y = 1

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar d y d x de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

d y d x = d y d u * d u d x

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim, utilizando a regra da cadeia, teremos que:

f y ' = f ' y ⋅ y '

Derivando a equação 4 cos ⁡ x   s e n   y = 1 com relação a x , temos que

4 ⋅ - s e n   x ⋅ s e n   y + 4 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ y ⋅ y ' = 0

Assim,

- 4   s e n   x     s e n   y + 4 cos ⁡ x cos ⁡ y   y ' = 0

Passo 3

Isolando y ' , temos que

4 cos ⁡ x cos ⁡ y   y ' = 4   s e n   x   s e n   y

y ' = 4   s e n   x   s e n   y 4 cos ⁡ x cos ⁡ y

y ' = s e n   x cos ⁡ x   s e n   y cos ⁡ y

y ' = t g   x   t g   y

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

R: y ' = t g   x   t g   y

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