Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int u sqrt(1 - u^2) d u

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

int u sqrt(1 - u^2) d u

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o v é pensar:

“o que, que, se eu substituir por v vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

Nesse caso temos:

v = 1 - u^2

Agora calculamos d v :

(d v)/(d u) = - 2 u

d u = - (1)/(2 u) d v

Substituindo:

int u sqrt(1 - u^2) d u = int u sqrt(v) (- (1)/(2 u) d v)

int - (1)/(2) sqrt(v) d v

Que é o mesmo que:

int - (1)/(2) v^((1)/(2)) d v

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Passo 2

Integrando:

int - (1)/(2) v^((1)/(2)) d v = - (1)/(2) (v^((1)/(2) + 1))/(1 + (1)/(2)) + C

= - (1)/(3) v^((3)/(2)) + C

Agora a gente volta pra variável original v = 1 - u^2 :

int u sqrt(1 - u^2) d u = - (1)/(3) (1 - u^2)^((3)/(2)) + C

Prontinho:

Resposta

int u sqrt(1 - u^2) d u = - (1)/(3) (1 - u^2)^((3)/(2)) + C

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