Enunciado

Nos Exercícios 53 e 54, determine d y d x (considerando y como uma função derivável de x ) e d x d y (considerando x como uma função derivável de y ). Como d y d x e d x d y parecem estar relacionados? Explique a relação geometricamente, em termos de gráficos.

53. x y 3 + x 2 y = 6

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Esses dois passos são para o cálculo de d y d x primeiro, ok? Bora lá!

Passo 2

Utilizando a regra do produto, teremos:

1 . y 3 + x . 3 y 2 . d y d x + 2 x . y + x 2 . d y d x = 0

x . 3 y 2 . d y d x + x 2 . d y d x + 2 x . y + y 3 = 0

Agora aplicando o passo 2, teremos:

d y d x 3 x y 2 + x 2 = - 2 x y - y ³

∴ d y d x = - ( 2 x y + y 3 ) 3 x y 2 + x 2

Passo 3

Agora para descobrirmos o inverso, ou seja, d x d y , os passos serão:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a y , considerando x como uma função derivável de y ;

2. Agrupar os termos que possuem d x d y em um lado da equação e isolar d x d y .

Passo 4

Aplicando novamente a regra do produto, teremos:

d x d y . y 3 + x . 3 y 2 + 2 x . d x d y . y + x 2 . 1 = 0

d x d y . y 3 + 2 x . d x d y . y + 3 x . y 2 + x 2 = 0

Agora aplicando o passo 2, teremos:

d x d y y 3 + 2 x y = - 3 x y 2 - x 2

∴ d x d y = - ( 3 x y 2 + x 2 ) 2 x y + y 3

Passo 5

A conclusão que conseguimos chegar é que:

d x d y = 1 d y d x

As duas funções são diferentes em relação à reta identidade y = x . No entanto, os valores são recíprocos um do outro nos pontos correspondentes ( a ,   b ) e ( b ,   a ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se g x + xs e ng x = x 2 , ache g ' ( 0 ) .
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Encontre d y / d x derivando implicitamente. x y = 1 + x 2 y
Se f x + x 2f x 3 = 10 e f 1 = 2 , ache f ' ( 1 ) .
Encontre y ' ' por derivação implícita. x 4 + y 4 = a 4