Enunciado

a) Calcule a área da superfície da elipsoide que é gerada ao rotacionar a elipse em torno do seu eixo maior.

b) Qual é a área da superfície se a elipse for rotacionada em seu eixo menor?

Passo 1

O problema pede para encontrarmos a área da superfície obtido ao rotacionarmos uma elipse em torno do seu eixo maior. Vamos considerar que esse eixo seja o eixo x :

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Temos portanto, a > b . A seguir plotamos a metade superior da elipse que será girada em torno do eixo x :

No volume 1, vimos que a área da superfície de um sólido obtido pela revolução em torno do eixo x é

A = 2 π   ∫ y   1 + d y d x 2   d x

Vamos usar coordenadas polares para fazer essa integral! A equação da elipse pode ser escrita como

x = a cos ⁡ t             e             y = b   s e n   t

Assim,

d y d x = d y d t d x d t = - a   s e n   t b cos ⁡ t = - a b tan ⁡ t

Além disso,

d x = - a   s e n   t   d t

Quando x = - a , t = π e quando x = a , t = 0 :

A = 2 π ∫ π 0 b   s e n   t   1 + a 2 b 2 tan 2 ⁡ t   - a   s e n   t   d t

Logo,

A = 2 π a b ∫ 0 π s e n 2 t   1 + a 2 b 2 tan 2 ⁡ t   d t

Essa integral é extremamente difícil de ser computada e por isso deixaremos a resposta em função dela!

Passo 2

Se girarmos em torno do eixo menor, a expressão será a mesma, porém invertendo a com b :

A = 2 π a b ∫ 0 π s e n 2 t   1 + b 2 a 2 tan 2 ⁡ t   d t

Eu sei que é estranho deixar a resposta em função de uma integral, mas a maioria dos problemas do mundo real não admitem solução explicita, muitas vezes temos que deixar integrais indicadas ou fazer cálculos numéricos com auxílio de um computador! Quanto antes você se acistumar com isso melhor!

Resposta

A = 2 π a b ∫ 0 π s e n 2 t   1 + a 2 b 2 tan 2 ⁡ t   d t

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