Enunciado

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função:

H (t) = (4 - t^2)/(2 - t)

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😎

Nesse problema foi dada a função

H (t) = (4 - t^2)/(2 - t)

E nosso objetivo é determinar o domínio e esboçar o gráfico dessa função.

Parece complicado? 😉

O domínio de uma função pode ser definido como os possíveis valores que a variavel da função pode assumir para a função ser definida.

Veja só! 😬

Passo 2

Bom pessoal , primeiramente temos que olhar e pensar: que tipo de restrição pode ter no domínio da função? De cara, vemos que o numerador da expressão configura uma função do segundo grau, então com ela ta tudo ok, visto que é uma função simples e sem nenhum tipo de complicação. No denominador a gente tem um restrição, a de que ele não pode ser zero, ou seja:

2 - t != 0

Ajeitando a expressão, temos que a única restrição de domínio da função será:

t != 2

Ou seja, o domínio da nossa função será todos os números reais menos o número 2 . Podemos escrever que o domínio D da função vai ser todos os reais, desde que x seja diferente de 2 . A gente pode escrever isso em linguagem matemática, ficando assim:

D = {x in R| x != 2 }

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para achar o gráfico da função, a gente vai ter que mexer um pouquinho na forma dela. Na parte de cima, podemos escrever como 2^2 - t^2 . Isso daí é uma diferença de quadrados, certo? É o resultado de um produto notável do tipo (2 + t) . ( 2 - t ) (produto da soma pela diferença). Esses produtos notáveis tem que estar embalados na cabeça, não esquece disso, fechou? Agora a gente vai mexer na nossa função:

H (t) = ((2 + t) . ( 2 - t ))/(2 - t)

Beleeeeeza! Temos o termo ( 2 - t ) no numerador e no denominador, então a gente pode cortar um com o outro. Mas não vai esquecer: essa função não existe no ponto t = 2 de jeito nenhum! E a gente só pode cancelar os termos ( 2 - t ) se respeitar isso, tranquilo? Olha só como vai ficar nossa expressão:

H (t) = 2 + t

Essa daí é uma função do primeiro grau, que é representada por uma reta. Quando t = 0 , teremos H (t) = 2 e quando H ( t ) = 0 , teremos t = - 2 . Pronto, agora temos dois pontos da nossa reta e podemos desenhá-la! Dá uma checada em como vai ficar o gráfico:

No ponto ( 2 , 4 ) temos uma bolinha vazia porque a função não existe quando x = 2 devido a restrição do domínio que a gente achou beeem no início, tranquilo? Pronto! Essa questão já era! ;)

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

O domínio D da função é dado por:

D = {x in R| x != 2 }

É seu gráfico é:

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