Enunciado

Use a parte 1 do teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

y = ∫ 0 t g x t + t   d t

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Queremos calcular a derivada da função:

y = ∫ 0 t g x t + t   d t

Pra isso, vamos usar o teorema fundamental do cálculo!

Ele é assim: se g x = ∫ 0 x f t d t , então g ' x = f ( x ) .

Como nosso limite de integração é uma função, temos que aplicar a regra da cadeia.

Vamos tentar aplicar aqui no nosso caso. A gente vai usar a propriedade de que podemos decompor a derivada assim, ó:

d y d x = d y d u d u d x

E então a nossa vai ser assim:

d g x d x = d d x ∫ 0 x f t d t = d d u ∫ 0 x f t d t d u d x  

Veja só!

Passo 2

Então bora lá! Vamos substituir o limite de integração por u :

u = t g x

d u d x = sec 2 ⁡ x

Então vamos escrever do jeito esperto que vimos no passo 1 :

d y d x = d d u ∫ 0 u t + t   d t d u d x  

Aí é só substituir!

d y d x = u + u × sec 2 ⁡ x

Voltando pra t g x , chegamos na resposta!

d y d x = t g x + t g x × sec 2 ⁡ x

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

d y d x = t g x + t g x × sec 2 ⁡ x

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Resolva a integral: ∫ 1 3 y 3 - 2 y 2 - y y 2 d y
66. Seja F x = ∫ 1 x f ( t ) d t , onde f é a função cujo gráfico é mostrado. Onde F é côncava para baixo?