Enunciado

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a . Diga quem é f e a em cada caso.

lim x → π / 4 ⁡ t g x   - 1 x - π / 4

Passo 1

Assustou com a questão? Relaxa que a gente vai resolver tim tim po tim tim, vem comigo!

O enunciado nos apresentou um limite que representa a derivada de uma função f em um certo número a . O limite apresentado representa o limite de uma função quando x se aproxima de π / 4 . Esse tipo de limite é uma forma de determinar a taxa de variação instantênea de uma função em um ponto específico a .

Até aqui tudo beleza?

Para resolver esse exercício, vamos comparar o limite do enunciado com a fórmula da derivada em um ponto a qualquer:

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Essa daí é uma das definições de derivada, beleza? A outra mais famosa (com o h sozinho no denominador) é equivalente à essa!

Agora, vamos comparar os dois limites igualando eles:

lim x → π / 4 ⁡ t g x   - 1 x - π / 4 = lim x → a ⁡ f x - f a x - a

Comparando os numeradores, podemos perceber que a função t g x seja contínua em 1 , sendo assim, para que seja verdadeiro:

t g x = 1

Temos que

x = π 4

Essa aqui é só olhar, comparar e pronto! Chegamos à conclusão de que a = π / 4 e f x = t g ( x ) , fechou?

Passo 2

Aqui, a gente vai só confirmar se a nossa resposta ta batendo, aí podemos ter certeza de que fizemos tudo direitinho!

Na expressão da derivada no ponto, vamos substituir o valor de f x ,   a e f ( a ) . O único que não temos é f ( a ) , então vamos calculá-lo:

f a = f ( π / 4 ) = t g π / 4 = 1

Substituindo na expressão:

f ' 5 = lim x → π / 4 ⁡ t g ( x ) - 1 x - π / 4

Pronto! Conferimos a nossa resposta e não resta sombra de dúvida da solução! Sempre que der, dá essas checadas nas questões para ganhar uma confiança e sair arrasando nas provas ;)

Resposta

Teremos que f x = t g x e a = π / 4 .

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