Enunciado

Encontre o domínio de f ∘ g para as funções f e g do exercício 47 .

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:

f ∘ g x = f g ( x )

Dessa forma, o domínio da composição f g ( x ) consiste em todo x no domínio de g com o qual g ( x ) está no domínio de f . Como assim?

Vamos ver o domínio de g e o de f , depois, vamos ver quais os valores do domínio de g que fazem g ( x ) se encaixar no domínio de f . Vai ficar melhor na prática!

Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

As duas funções foram calculadas no exercício 47 .

f x = x - 1

Temos nenhuma restrição aqui! x pode assumir qualquer valor dentro dos reais!! Assim, o domínio de f é:

- ∞ ,   + ∞

E:

g x = x + 2 , - 3 ≤ x ≤ 1 - x ,   2 < x ≤ 3

A única coisa que restringe o nosso domínio é a a própria definição por partes, pois só temos valores definidos para o intervalo - 3 ≤ x ≤ 1 e 2 ≤ x ≤ 3 . Então, o domínio de g é:

- 3 , 1 ∪ [ 2,3 ]

Passo 3

Já calculamos a composição no exercício 47:

f ∘ g = f g x = x + 1 , - 3 ≤ x ≤ 1 - x - 1 , 2 < x ≤ 3

E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de g que tornam g um valor dentro do domínio de f .

Já vimos que o domínio de g consiste nos números entre - 3 e 3 , certo? Mas, como f não tem restrições, ela aceita qualquer valor dentro dos reais, então não precisamos nos preocupar com os valores que g ( x ) pode assumir, pois qualquer um deles estará no domínio de f .

Dessa forma, o domínio da composição será o próprio domínio de g , pois todos os valores que g assume estão no domínio de f :

- 3,1 ∪ [ 2,3 ]

Resposta

- 3,1 ∪ [ 2,3 ]

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