Enunciado

Use a tabela abaixo para fazer um gráfico de y = f (g (x)) .

Passo 1

Para fazer uma gráfico de f (g (x)) precisamos saber que funções são essas, certo? Para, depois, achar a composição delas.

Para achar que funções são essas, vamos jogar esses pontos que foram dados na tabela em um gráfico e ver o que aparece.

Primeiro, jogando os pontos de (x , f (x)) :

Opa, a disposição desses pontos parece muuuito com uma reta! Se a gente liga eles, vamos realmente ter uma reta. Mas qual?

Para isso, vamos pegar apenas dois pontos e aplicar na equação da reta:

y = a x + b

Para achar os coeficientes e termos a reta correspondente a esses pontos!

Passo 2

Vamos pegar os pontos D e E: ( 0 , - 1 ) e ( 1,0 ) , ok? Substituindo eles na equação da reta:

- 1 = 0 * a + b

Daqui, a gente já tira que:

b = - 1

E, no outro ponto:

0 = 1 * a + b

Substituindo b = - 1 :

a - 1 = 0

:.

a = 1

Dessa forma, podemos substituir esses valores na equação da reta e:

y = x - 1

Vamos ver se ela dá conta dos nossos pontos? Plotando essa reta:

Deu certinho!! Então, f (x) = x - 1 !

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para achar g ( x ) ! Enão, vamos jogar os pontos no gráfico:

Opa, estranha, essa função né? Mas repare que até o ponto E, temos uma reta e, depois, temos outra. Isso me parece uma função por partes, hein... Vamos achar essas duas retas, então:

Primeiro, a reta de A até E: vamos pegar os pontos D ( ( 0,2 ) ) e E ( ( 1,3 ) ) e jogar na equação da reta:

y = a x + b

Ponto D:

2 = 0 * a + b

Daqui, tiramos que:

b = 2

E, no ponto E:

3 = 1 * a + b

Substituindo b = 2 :

3 = a + 2

:.

a = 1

Com isso, temos que de A até E, g ( x ) tem o comportamento de:

y = x + 2

Passo 4

Agora, vamos ver os pontos F ( ( 2 , - 2 ) ) e G ( ( 3 . - 3 ) ). Jogando F na equação da reta:

- 2 = 2 * a + b

E G:

- 3 = 3 * a + b

Vamos resolver esse sisteminha:

- 2 = 2 * a + b

- 3 = 3 * a + b

Multiplicando a segunda equação por - 1 :

- 2 = 2 * a + b

3 = - 3 * a - b

Somando as duas equações:

- a = 1

:.

a = - 1

Substituindo esse valor na primeira equação:

- 2 = 2 (- 1) + b

- 2 = - 2 + b

:.

b = 0

Com isso, de F até G, temos esse comportamento:

y = - x

Ok! Juntando as duas informações dos últimos passos, temos que:

g (x) = {[[x + 2 , - 3 <= x <= 1],[- x , 2 < x <= 3]])

Jogando no gráfico:

Deu certinho também!

Passo 5

Agora, só falta achar a composição f (g (x)) , para isso, precisamos substituir x de f pela função g . Então, como g é dada por partes, essas substituições também serão por partes:

Para - 3 <= x <= 1 , g (x) = x + 2 . Substituindo em f (x) = x - 1 :

f (g (x)) = (x + 2) - 1

:.

f (g (x)) = x + 1

Para 2 < x <= 3 , g (x) = - x . Substituindo em f (x) = x - 1 :

f (g (x)) = - x - 1

Juntando essas informações, podemos definir a composição como:

f (g (x)) = {[[x + 1 , - 3 <= x <= 1],[- x - 1 , 2 < x <= 3]])

Vamos jogar isso em um gráfico:

Prontinho!

Resposta

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