Enunciado

Esboce o gráfico de y = f (g (x)) , para as funções abaixo:

Passo 1

Para fazer uma gráfico de f (g (x)) precisamos saber que funções são essas, certo? Para, depois, achar a composição delas.

Para achar que funções são essas, vamos ter que ver com que estilo de função elas se parecem a partir do gráfico que foi dado:

Vamos tentar achar a equação de f primeiro. Olhando para o gráfico de f , vemos que ela se parece muito com uma parábola, pois tem apenas uma curva bem definida ali, um ponto ( 0,3 ) que poderia ser o vértice e outros dois ( - 2,0 ) e ( 2,0 ) que seriam as raízes. Sendo assim, ela vai ter essa cara:

f (x) = a x^2 + b x + c

Que é a cara clássica de uma parábola, ok? Vamos pegar esses 3 pontos citados anteriormente, jogar tudo nessa equação para f e achar os valores de a , b e c , show? Vamos lá!

Primeiro, substituindo o ponto de (0 , 3) :

3 = a * 0^2 + b * 0 + c

Daqui, tiramos que:

c = 3

Substituindo ( - 2,0 ) :

0 = a (- 2)^2 + b (- 2) + c

4 a - 2 b + c = 0

Substituindo ( 2,0 ) :

0 = a (2)^2 + b (2) + c

4 a + 2 b + c = 0

Substituindo c = 3 nas duas, temos o seguinte sistema para resolver:

4 a - 2 b + 3 = 0

4 a + 2 b + 3 = 0

:.

4 a - 2 b = - 3

4 a + 2 b = - 3

Somando as duas equações:

8 a = - 6

a = - (6)/(8) = - (3)/(4)

Substituindo a na primeira equação:

4 (- (3)/(4)) - 2 b + 3 = 0

- 3 - 2 b + 3 = 0

Isolando b :

2 b = - 3 + 3

b = 0

Com isso:

f (x) = - (3)/(4) x^2 + 3

Vamos plotar esse gráfico para ver se bate com o da imagem:

Deu certinho!

Passo 2

Agora, vamos tentar achar g :

Olhando, de novo, para a imagem, vemos que g tem um comportamento diferente do de f . Ela tem duas concavidades ali, uma com o vértice em ( - 3,3 ) e outra em ( 3 , - 3 ) . Cara, quando temos algo desse tipo, podemos pensar em uma função com um grau a mais que a parábola, ou seja, uma função do terceiro grau:

g (x) = a x^3 + b x^2 + c x + d

Onde temos uma raiz em ( 0,0 ) e um ponto ( - 1 , 1,5 ) :

Beleza, vamos trabalhar em cima dos 4 pontos que vimos.

Substituindo ( 0,0 ) :

0 = a (0)^3 + b (0)^2 + c (0) + d

Daqui, tiramos que:

d = 0

Substituindo ( - 3,3 ) :

3 = a (- 3)^3 + b (- 3)^2 + c (- 3) + d

Arrumando e substituindo d = 0 :

- 27 a + 9 b - 3 c = 3

Substituindo (3 , - 3) :

- 3 = a (3)^3 + b (3)^2 + c (3) + d

Arrumando e substituindo d = 0 :

27 a + 9 b + 3 c = - 3

Então, temos 2 equações:

- 27 a + 9 b - 3 c = 3

27 a + 9 b + 3 c = - 3

Se a gente soma as duas equações:

18 b = 0

:.

b = 0

Vamos substituir esse valor nas outras equações:

- 27 a - 3 c = 3

27 a + 3 c = - 3

Temos um problema, se somarmos essas equações, chegamos a:

0 = 0

Calma, temos mais um ponto! Substituindo ( - 1 , 1,5 ) :

1,5 = a (- 1)^3 + b (- 1)^2 + c (- 1) + d

Arrumando e substituindo os valores que temos:

- a - c = 1,5

Juntando à outra equação:

27 a + 3 c = - 3

Vamos multiplicar a primeira por 3:

- 3 a - 3 c = 4 , 5

27 a + 3 c = - 3

Somando as duas:

24 a = 1,5

:.

a = (1,5)/(24)

Simplificando por 1,5:

a = (1)/(16)

Substituindo o valor na primeira equação:

- (1)/(16) - c = 1,5

c = - 1,5 - (1)/(16) = - (15)/(10) - (1)/(16)

Fazendo o mmc, que é 80:

c = (- 120 - 5)/(80) = - (125)/(80)

Simplificando por 5:

c = - (25)/(16)

Dessa forma:

g (x) = (1)/(16) x^3 - (25)/(16) x

Olha só as duas funções:

Pôoo, vai me dizer que não ficou igual à imagem do enunciado? Muito bom!

Passo 3

Agora, vamos fazer a composição f (g (x)) , substituindo x de f por g :

f (x) = - (3)/(4) x^2 + 3

g (x) = (1)/(16) x^3 - (25)/(16) x

Então:

f (g (x)) = - (3)/(4) ((1)/(16) x^3 - (25)/(16) x)^2 + 3

Olha, isso vai dar uma função do sexto grau... Relaxa que é completamente normal não saber esboçar essa curva, tá? Até porque é beeemmm difícil pedirem isso em algum lugar. A não ser que você já tenha visto alguma coisa de cálculo, como limite e derivada. Mas, até essa parte do livro, ninguém viu isso ainda. Então, vamos nos poupar de contas e usar um recurso gráfico, ok?

Olha essa composição em verde....... Falei que ficaria estranho kkk. Mas tudo bem, mas deixar só ela agora:

Prontinho! É isso.

Resposta

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