Enunciado

5 – 20 Encontre dy/dx diferenciando implicitamente

9. x 2 y + x y 2 = 3 x

Passo 1

Fala meus queridõeees. Aqui, a gente tem que derivar implicitamente y   em relação a x na expressão do enunciado.

Para derivar implicitamente você faz o seguinte:

Quando derivar um x , deriva normal. Quando derivar y , deriva normal e multiplica por y ' .

Esse y ' é o próprio d y / d x , isso é, a derivada de y em relação a x , que é o que o enunciado nos pede.

Passo 2

Para derivar implicitamente vamos aplicar a deriada dos dois lados da equação:

d d x x 2 y + x y 2 = d d x ( 3 x )

d d x x 2 y + d d x x y 2 = 3

Vamos usar a regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Então aplicando a regra nas duas derivadas da equação vamos ter:

y ⋅ d d x x 2 + x 2 ⋅ d d x y + y 2 ⋅ d d x x + x ⋅ d d x y 2 = 3

y ⋅ 2 x + x 2 ⋅ y ' + y 2 ⋅ 1 + x ⋅ 2 y y ' = 3

Repara que quando eu derivei o y , eu multipliquei por y ' ...

Organizando, temos:

2 x y + x 2 y ' + y 2 + 2 x y ⋅ y ' = 3

Colocando y ' em evidência:

y ' 2 x y + x 2 + y 2 + 2 x y = 3

y ' 2 x y + x 2 = 3 - y 2 - 2 x y

y ' = 3 - y 2 - 2 x y 2 x y + x 2

Resposta

y ' = 3 - y 2 - 2 x y 2 x y + x 2

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