Enunciado

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

34. y 2 - 2 x - 4 y - 1 = 0 ,     - 2 , 1

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

y 2 - 2 x - 4 y - 1 = 0 ,     - 2,1

1 2 - 2 ( - 2 ) - 4 ( 1 ) - 1 = 0

1 + 4 - 4 - 1 = 0

0 = 0

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

Regra do produto:

2 y y ' - 2 - 4 y ' + 0 = 0

( 2 y - 4 ) y ' = 2

y ' = 2 ( 2 y - 4 )

y ' = 1 ( y - 2 )

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto - 2 , 1 , vale:

y ' = 1 ( 1 - 2 )

y ' = m = - 1

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 1 = - 1 x - - 2

y = - x - 2 + 1

y = - x - 1

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente, pois as retas são perpendiculares. Vamos mostrar o porquê disso.

Imagine duas retas r e s perpendiculares:

A tg ⁡ β e a tg ⁡ ( β + 90 ° ) são os coeficientes agulares das retas s e r , respectivamente.

Vamos calcular o valor de tg ⁡ ( β + 90 ° ) usando as fórmulas de adição estudada no Capitulo 1:

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ ( β + 90 º ) cos ⁡ ( β + 90 º )

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ β cos ⁡ β cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ β sen ⁡ 90 °

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β 0 + 1 cos ⁡ β cos ⁡ β 0 - sen ⁡ β 1

tg ⁡ β + 90 ° = cos ⁡ β - sen ⁡ β

tg ⁡ β + 90 ° = - 1 tg ⁡ β

Ou seja:

m r = - 1 m s

Pronto agora que a gente tem certeza que os coeficientes angulares das retas perpendiculares são opostos e inversos, vamos continuar calculando a equação da reta normal:

y - 1 = 1 x - - 2

y = x + 2 + 1

y = x + 3

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = - x - 1

b. y = x + 3

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