Enunciado

22. Se g (x) + x s e n g (x) = x^2 e g (1) = 0 , ache g^' (1) .

Passo 1

Se derivarmos implicitamente a equação, g^' (x) vai aparecer devido a regra da cadeia que vamos aplicar em (s e n g (x)) e também pela derivação simples de g (x) . Então vamos começar aplicando a derivada na equação:

(d)/(d x) (g (x) + x s e n g (x)) = (d)/(d x) (x^2)

(d)/(d x) (g (x)) + (d)/(d x) (x s e n g (x)) = 2 x

g^' (x) + (d)/(d x) (x sen g (x)) = 0

Precisamos da regra do produto:

(u * v)^' = v * u^' + u * v^'

Aplicando essa regra:

g^' (x) + (sen g (x) * (1) + x * (d)/(d x) (sen g (x))) = 0

g^' (x) + sen (g (x)) + x * (d)/(d x) (sen (g (x))) = 0

Passo 2

Para derivarmos sen (g (x)) precisamos utulizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F (x) = f (g (x))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F^' (x) = f^' (g (x)) * g^' (x)

Nesse caso a função de fora é o seno e a função de dentro é g (x) , então podemos escrever a equação como sendo:

g^' (x) + sen (g (x)) + x * (cos (g (x)) * g^' (x)) = 0

Precisamos isolar g^' (x) :

g^' (x) + x * cos (g (x)) * g^' (x) = - sen (g (x))

Tirando g^' (x) em evidência:

g^' (x) [1 + x * cos (g (x))] = - sen (g (x))

g^' (x) = (- sen (g (x)))/(1 + x * cos (g (x)))

Passo 3

Como temos o valor de x = 1 e de g (1) = 0 , só precisamos substituir os valores para acharmos g^' (1) :

g^' (1) = (- sen (g (1)))/(1 + (1) * cos (g (1)))

g^' (1) = (- sen (0))/(1 + cos (0))

g^' (1) = (- 0)/(1 + 1)

g^' (1) = 0

Resposta

g^' (1) = 0

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