Enunciado

Encontre a equação cartesiana para a curva descrita pela equação polar dada.

17. r = 3 sen ⁡ θ

Passo 1

Queremos encontrar uma equação cartesiana para a curva com equação r = 3 sen ⁡ θ

Sabemos que a relação entre as coordenadas cartesiana e polar de uma figura é que x = r cos ⁡ θ   e y = r   s e n θ .

Veja que a equação r = 3 sen ⁡ θ é bem parecida com a equação de y em coordenadas polares, mas falta um termo r . Então vamos multiplicar ambos os lados da equação por r :

r = 3 sen ⁡ θ

r 2 = 3  r sen ⁡ θ

Sabemos que r 2 = x 2 + y 2   e   y = r   s e n θ , então vamos substituir essas duas coisas:

x 2 + y 2 = 3 y

Hmm... parece a equação de uma circunferência, só que do lado direito não temos uma constante. Para melhorar essa equação e deixá-la com cara de circunferência, vamos jogar esse 3 y para a esquerda e completar quadrado de y :

x 2 + y 2 - 3 y = 0

x 2 + y 2 - 3 y + 9 4 - 9 4 = 0

x 2 + y - 3 2 2 = 9 4

Show! Agora podemos ver que realmente é uma circunferência, com centro deslocado em y , C = 0 , 3 2   e raio igual a 3 2 .

Resposta

x 2 + y - 3 2 2 = 9 4

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Plote o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. Depois, determine as coordenadas retangulares do ponto. 3 , 0 , π
Descreva em palavras a superfície cuja a equação é dada a seguir r = 3
Identifique a superfície cuja a equação é dada r = 2 cos ⁡ θ
Converta de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas. 0 , - 1 , - 1