Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

E l i p s e ,   f o c o s ± 4,0 ,   p a s s a n d o   p o r   ( - 4 ,   1.8 )

Passo 1

Pessoal, uma elipse possui a seguinte equação x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , com foco ( ± c , 0 ) , onde c 2 = a 2 - b 2 . Substituindo o valor de c nessa última equação, temos:

4 2 = a 2 - b 2

16 = a 2 - b 2

a 2 = 16 + b 2

Substituindo o ponto na equação da elipse, temos:

- 4 2 a 2 + 1,8 2 b 2 = 1

16 a 2 + 3,24 b 2 = 1

16 b 2 + 3,24 a 2 a 2 b 2 = 1

16 b 2 + 3,24 a 2 = a 2 b 2

Substituindo o valor de a 2 na equação acima, temos:

16 b 2 + 3,24 16 + b 2 = 16 + b 2 b 2

b 4 - 3,24 b 2 - 51,84 = 0

Passo 2

Resolvendo essa equação de segundo grau,

b 2 = 3,24 ± 217,8576 2

b 1 2 = 3,24 - 14,76 2 = - 5,76   → n ã o   p o d e   s e r   u s a d o   p o r   b 2 ≥ 0

b 2 2 = 3,24 + 14,76 2 = 9

Assim,

b = 3

Agora, podemos determinar o valor de a !

a 2 = 16 + b 2

a 2 = 16 + 9 = 25

a = 5

Portanto, podemos finalmente escrever a equação da cônica!

x 2 5 2 + y 2 3 2 = 1

x 2 25 + y 2 9 = 1

Resposta

A equação da cônica é:

x 2 25 + y 2 9 = 1

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