Enunciado

Use qualquer teste para determinar se uma série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2

Passo 1

Pessoal, uma série ∑ a n é dita absolutamente convergente se ∑ | a n | for convergente. Portanto, a nossa série será absolutamente convergente se a série a seguir for convergente

∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2 = ∑ n = 1 ∞ arctan ⁡ n n 2

Vamos aplicar o teste de comparação de limite. Suponhamos que temos duas séries ∑ a n e ∑ b n tal que a n , b n ≥ 0 para todo n . Então, se o limite lim n → ∞ ⁡ a n b n ≠ 0 ≠ ∞ as duas series convergem ou divergem.

Usando o teste com a n = arctan ⁡ n n 2 e b n = 1 n 2 . Assim,

lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n n 2 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ arctan ⁡ n = π 2

Pelo teste de comparação de limite, como a série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge, logo a série ∑ n = 1 ∞ arctan ⁡ n n 2 também converge. Logo, ∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2 é absolutamente convergente!

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Mostre que ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n ! diverge. Lembre-se das leis dos expoentes que 2 ( n 2 ) = 2 n n .
Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 4 n 2 n n !