Enunciado

Encontre os pontos da curva dada onde a linha tangente é horizontal ou vertical.

r = 1 - sen ⁡ θ

Passo 1

Falaee, tudo certinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 1 - sen ⁡ θ

Queremos encontrar os pontos da curva onde a linha tangente é horizontal ou vertical.

Para encontrarmos a tangente, a gente sabe que precisamos encontrar a seguinte derivada:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r c o s   θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Mas calma... queremos os pontos da tangente vertical e os pontos da tangente horizontal. Como encontramos isso??

É simples!! A tangente vertical acontecerá quando o numerador de d y d x for igual a zero e a tangente será horizontal quando o denominador for igual a zero!!

Agora que a genten sabe disso, bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos primeiro encontrar d r d θ .

Para isso, vamos derivar r = 1 - sen ⁡ θ :

d r d θ = d d θ 1 - sen ⁡ θ ∴

d r d θ = d d θ 1 - d d θ sen ⁡ θ

A derivada da constante é zero e a derivada do seno é o cosseno, portanto:

d r d θ = - cos ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos encontrar o valor de d y d x . Lembrando que:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r c o s   θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo r e d r d θ , temos:

d y d x = ( - cos ⁡ θ ) sen ⁡ θ + 1 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ cos ⁡ θ - 1 - sen ⁡ θ sen ⁡ θ

Realizando as multiplicações:

d y d x = - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - c o s θ sen ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ ∴

d y d x = - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ ⋅ - 1 ( - 1 ) ∴

d y d x = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ + sem ⁡ θ

Aplicando as simplificações trigonométricas cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 1 - 2 sen 2 ⁡ θ :

d y d x = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ + sen ⁡ θ ∴

d y d x = 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 1 - 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ

Passo 4

Pessoal, nós vamos ter uma reta tangente horizontal quando o numerador de d y d x for igual a zero. Vamos descobrir os valores de θ para essa situação!

2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ = 0 ∴

cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ - 1 = 0

Essa equação tem dois jeitos de ser igual a zero. O primeiro deles é 2 sen ⁡ θ - 1 ser igual a zero. Assim,

2 sen ⁡ θ - 1 = 0

sen ⁡ θ = 1 2 ∴

θ = π 6 ou 5 π 6

O outro modo é cos ⁡ θ ser igual a zero. Logo,

cos ⁡ θ = 0

θ = π 2 ou 3 π 2

Passo 5

Agora, nós vamos ter uma reta tangente vertical quando o denominador de d y d x for igual a zero. Vamos descobrir os valores de θ para essa situação!

1 - 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ - 1 2 sen ⁡ θ + 1 = 0

Essa equação tem dois jeitos de ser igual a zero. O primeiro deles é 2 sen ⁡ θ + 1 ser igual a zero. Assim,

2 sen ⁡ θ + 1 = 0

sen ⁡ θ = - 1 2 ∴

θ = 7 π 6 ou 11 π 6

O outro modo é sen ⁡ θ - 1 ser igual a zero. Logo,

sen ⁡ θ = 1

θ = π 2

Passo 6

Pessoal, notemos que ambos numerador e denominador são iguais a zero quando θ = π / 2 , o que nos leva a ter d y d x = 0 0 e não há linha tangente nesse ponto.

Usando a regra de L’Hospital para verificarmos os limites laterais, temos:

lim θ → π 2 - ⁡ d y d x = lim θ → π 2 - ⁡ 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 1 - 2 sen 2 ⁡ θ + sen ⁡ θ

Fatorando o numerador e o denominador, temos:

lim θ → π 2 - ⁡ 2 sen ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ 1 + 2 sen ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ

Assim, podemos aplicar o limite da seguinte forma:

lim θ → π 2 - ⁡ 2 sen ⁡ θ - 1 1 + 2 sen ⁡ θ lim θ → π 2 - ⁡ cos ��� θ 1 - sen ⁡ θ

O limite da esquerda vale 1 3 , portanto:

1 3 lim θ → π 2 - ⁡ cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ

O sen ⁡ θ tende a infinito quando θ → π 2 e, portanto, muito maior que 1 . Dessa forma, podemos dizer que:

1 3 lim θ → π 2 - ⁡ - cos ⁡ θ - sen ⁡ θ

Fazendo o limite lateral esquerdo, teremos:

1 3 lim θ → π 2 - ⁡ cos ⁡ θ sen ⁡ θ = ∞

De forma análoga, através do limite lateral direito a gente vai ter:

1 3 lim θ → π 2 + ⁡ cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - ∞

Note que os limites laterais tiveram resultados diferentes. Nesse sentido, não á continuidade nesse ponto e, portanto, o limite não existe.

Passo 7

Nós descobrimos que quando temos θ = π 6 , 5 π 6 , 3 π 2 nós temos retas tangentes horizontais e quando θ = 7 π 6 , 11 π 6 temos retas verticais. Vamos substituir esses valores na curva que nos foi dada lá no enunciado!

r = 1 - sen ⁡ π 6 ∴

r = 1 - 1 2 ∴

r = 1 2

Como o seno de π 6 é igual ao seno de 5 π 6 , temos:

1 2 , π 6 ,   1 2 , 5 π 6

Da mesma forma, o seno de 7 π 6 é igual ao de 11 π 6 . Logo,

r = 1 - sen ⁡ 7 π 6 ∴

r = 1 - - 1 2 ∴

r = 3 2

Os pontos são:

3 2 , 7 π 6 ,   3 2 , 11 π 6

Quando θ = 3 π 2 ,

r = 1 - sen ⁡ 3 π 2 ∴

r = 1 - - 1 ∴

r = 2

Logo, temos o ponto:

2 , 3 π 2

Quando θ = π 2 ,

r = 1 - sen ⁡ π 2 ∴

r = 1 - 1 ∴

r = 0

Assim, temos o ponto:

0 , π 2

Resposta

Os pontos onde a reta tangente é horizontal são:

1 2 , π 6 ,   1 2 , 5 π 6 ,   2 , 3 π 2

Os pontos onde a reta tangente é vertical são:

3 2 , 7 π 6 , 3 2 , 11 π 6 ,   0 , π 2

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