Enunciado

Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 3,5 , - 1 ) e contenham a linha x = 4 - t , y = 2 t - 1 , z = - 3 t .

Passo 1

Bom galera, a gente tem o ponto:

O = ( 3,5 , - 1 )

E uma linha que pode ser escrita por:

L = ( 4 - t ; 2 t - 1 ; - 3 t )

Passo 2

Uma linha pode ser escrita em um ponto somada com um vetor multiplicado com uma variável, assim:

L = P + t ( a → )

Então nossa linha, nada mais é o do que:

L = 4 , - 1,0 + t ( - 1,2 , - 3 )

Logo:

a → = - 1,2 , - 3

P = ( 4 , - 1,0 )

Então a gente pega esse os dois pontos que temos para encontrar outro vetor:

b → = P O = O - P

b → = 3,5 , - 1 - 4 , - 1,0 = ( - 1,6 , - 1 )

Passo 3

Pois agora, a gente encontra um vetor ortogonal aos dois que a gente assim, para isso a gente pega o produto vetorial dos dois:

v → = a → × b → = det ⁡ i → j → k → - 1 2 - 3 - 1 6 - 1

v → = 16 i → + 2 j → - 4 k →

Passo 4

Beleza, e a equação do plano por definição é:

v → x x - x o + v → y y - y o + v → z z - z o = 0

Se você quiser saber mais sobre essa fórmula e como ela funciona dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 5

Show de bola, agora que a gente só aplica o que a gente tem na equação:

v → x x - x O + v → y y - y O + v → z z - z O = 0

16 x - ( 3 ) + 2 y - 5 + - 4 z - ( - 1 ) = 0

→ 16 x - 48 + 2 y - 10 + ( - 4 z - 4 ) = 0

→ 16 x + 2 y - 4 z - 62 = 0

→ 16 x + 2 y - 4 z = 62

Resposta

16 x + 2 y - 4 z = 62

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