Enunciado

Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos 3,0 , - 1 , ( - 2 , - 2,3 ) e ( 7,1 , - 4 ) .

Passo 1

Bom galera, a gente tem os pontos:

P = ( 3,0 , - 1 )

Q = ( - 2 , - 2,3 )

R = ( 7,1 , - 4 )

Com isso a gente pode encontrar dois vetores:

P Q = Q - P

( - 2 , - 2,3 ) - ( 3,0 , - 1 ) = ( - 5 , - 2 , 4 )

E:

P R = R - P

( 7,1 , - 4 ) - ( 3,0 , - 1 ) = ( 4 , 1 , - 3 )

Passo 2

Pois agora, a gente encontra um vetor ortogonal aos dois que a gente assim, para isso a gente pega o produto vetorial dos dois:

v → = P Q × P R = det ⁡ i → j → k → - 5 - 2 4 4 1 - 3

v → = 2 i → + 1 j → + 3 k →

Passo 3

Beleza, e a equação do plano por definição é:

v → x x - x o + v → y y - y o + v → z z - z o = 0

Se você quiser saber mais sobre essa fórmula e como ela funciona dá uma olhada nas vídeo aulas aqui mesmo do Responde Aí!

Passo 4

Show de bola, agora que a gente só aplica o que a gente tem na equação:

v → x x - x P + v → y y - y P + v → z z - z P = 0

2 x - ( 3 ) + 1 y - 0 + 3 z - ( - 1 ) = 0

→ 2 x - 6 + y + ( 3 z + 3 ) = 0

→ 2 x + y + 3 z - 3 = 0

→ 2 x + y + 3 z = 3

Resposta

2 x + y + 3 z = 3

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